Метод ветвей и границ

Метод ветвей и границ — один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Алгоритм решения:

Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X₀. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и

F_max = F(X_o)

Если же среди компонент плана X₀ имеются дробные числа, то X₀ не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X₀) ³ F(X) для всякого последующего плана X.

Предполагая, что найденный оптимальный план X₀ не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X₀ дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу , либо больше или равно ближайшему большему целому числу . Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:

(32)

Найдем решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.

2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (I) и (II).

3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х₀ задачи (1)-(3), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования (1)-(4) методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

1. Находят решение задачи линейного программирования (1)-(3).

2. Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане задачи (1)-(3) является дробным числом.

3. Находят решение задач (I) и (II), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.

4. В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (I) и (II), и находят их решение. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (1)-(3) и такая, что значение функции в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод.

[9]

целочисленный программирование задача ком
Решение задачи ЛП в неканонической форме симплекс-методом

Пример. Решить следующую задачу ЛП в неканонической форме симплекс-методом:
f(x) = x₁ – x₂ – 3x₃ → min (5.11)
при ограничениях:

(5.12)
x₁, x₂, x₃≥ 0 (5.13)
Умножая обе части (5.12) на -1 и прибавляя в левые части системы дополнительные (или слабые) переменные x₄ ≥0, x ₅ ≥0, x₆ ≥0, получим каноническую форму (слабые переменные на целевую функцию не влияют):

(5.14)
Так как все слабые переменные входят со знаком "+", то их можно взять в качестве базисных и составить начальное допустимое базисное решение x⁰=(0,0,0,1,2,5). В данном случае исключать базисные переменные из целевой функции нет надобности (так как они в ней отсутствуют), поэтому целевую функцию записываем сразу в виде
f(x) = x₁ – x₂ – 3x₃ (5.15)
(требование симплекс-метода). С помощью начального допустимого базисного решения x⁰ и выражений (5.14) и (5.15) составим начальную симплекс-таблицу (здесь f(x⁰)=0).

Так как x⁰ неоптимален (в нулевой строке есть положительные числа 1 и 3), то с обозначенным ведущим элементом строим новое допустимое базисное решение. И так далее. На четвертой итерации (шаге) получаем таблицу:

В качестве упражнения проверьте правильность вычисления элементов этой таблицы, выполнив пропущенные две итерации (таблицы).
Как видно из последней таблицы, оптимальным решением задачи является x⁰⁰⁰⁰=(1/3, 11/3, 4) и f(x⁰⁰⁰⁰)=-46/3.
Как итог рассмотрения двух примеров, приведем алгоритм симплекс-метода:
1. привести задачу к канонической форме;
2. привести систему ограничений к диагональной форме и определить базисные переменные;
3. исключить базисные переменные из целевой функции;
4. построить симплекс-таблицу;
5. проверить найденное допустимое базисное решение на оптимальность: если оно оптимально, то решение закончить; если нет, то перейти к пункту 6;
6. вычислить ведущий элемент таблицы;
7. провести симплексное преобразование;
8. построить новое начальное допустимое базисное решение и перейти к пункту 5.

Заключение

В данной работе была рассмотрена сущность целочисленного программирования. Затронуты специальные методы решения целочисленных задач. Такие задачи возникают при моделировании разнообразных производственно-экономических, технических, военных и других ситуаций. В то же время ряд проблем самой математики может быть сформулирован как целочисленные экстремальные задачи.

Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом.

Список литературы

1. Конюховский П. «Математические методы исследования операций в экономике», 2004г

2. Н.Н. Петров ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ Ижевск 2009г

3. А.В.Кузнецов, В.А.Сакович, Н.И.Холод. Высшая математика: Математическое программирование. Ученик - 2-е издание. 2007г. 351с.

4. В.Г.Карманов. Математическое программирование: Учебное пособие – 5-е издание, стереотип-М:ФИЗМАТ, 2006г.-264с.

5. П.Н. Коробов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 2008г

6. В.В. Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М.Дайитбегов.: Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб.пособие для вузов/ЮНИТИ, 2003г.-391с.

7. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; под ред. Проф.Н.Ш. Кремера.: Исследование операций в экономике; учеб. Пособие для вузов.

8. Ананий В. Левитин: Алгоритмы: введение в разработку и анализ — М.: «Вильямс», 2006г.

9. Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Дин Винчестер, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн, Дэрил Диксон Алгоритмы: построение и анализ 2-е изд.

10. Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф., «Математические методы принятия решений» Учебное пособие. Тамбов, 2004

11. Носова С.С. Экономическая теория. – Москва: «Владос», 2003.

12. В.Н.Шевченко, Н.Ю. Золотых «Линейное и целочисленное линейное программирование» 2004г

13. Акулич И.Л., «Математическое программирование в примерах и задачах», Москва «Высшая школа» 2003г.