Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности).





Поверхностные интегралы первого рода (ПИПР) представляют собой одно из возможных обобщений двойных интегралов.

Пусть в пространстве Oxyz задана гладкая поверхность S, в точках которой определена произвольная функция F(x, y, z). (Поверхность называется гладкой, если в каждой точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Проделаем 5 операций.

1. Разобьем поверхность S на n частей, не имеющих общих внутренних точек. Обозначим площади и диаметры этих частей соответственно через Ds1, Ds2,…, Dsn и l1, l2,…, ln. Наибольший из диаметров обозначим через l и назовем рангом дробления.

2. В каждой частичной области выберем произвольным образом по точке (xk; yk; zk) и вычислим в них значения функции F(x, y, z), т.е. найдем числа F(xk, yk, zk).

3. Вычислим произведения F(xk, yk, zk) Dsk (k = 1, 2, …, n).

4. Найдем сумму которую называют интегральной суммой для функции F(x, y, z) по поверхности S, отвечающей произведенному дроблению на части и выбору точек (xk; yk; zk).

5. Измельчая дробление, ищем предел

(1)

(2)
Если существует конечный предел (1), не зависящий от способа дробления области S на части, а также от выбора точек (xk; yk; zk), то этот предел называют поверхностным интегралом первого рода от функции F(x, y, z) по поверхности S (поверхностным интегралом по площади поверхности) и обозначают символом:

При этом функцию F(x, y, z) называют подынтегральной функцией, a S – поверхностью интегрирования, ds – элементом площади поверхности S.

Таким образом, по определению

(3)

Простейшие свойства поверхностного интеграла первого рода:

1. Если F(x, y, z) = 1 в любой точке поверхности S, то где S – площадь поверхности интегрирования.

2. Постоянный множитель К подынтегральной функции можно выносить за знак поверхностного интеграла:

3. Поверхностный интеграл первого рода от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

4. Если поверхность S разбита на две части S1 и S2, то поверхностный интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям:

5. Если в точке А поверхности S функции F1(x, y, z) и F2(x, y, z) удовлетворяют неравенству F1(x, y, z) < F2(x, y, z), то

6. Имеет место неравенство:

7. (Теорема о среднем). Если функция F(x, y, z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности найдется хотя бы одна такая точка , что будет иметь место равенство: где S – площадь поверхности S.

Если на поверхности S распределена с плотностью m(x, y, z) некоторая масса m, то Координаты центра масс, статические моменты и моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным формулам, приведенным в разделе «Двойные интегралы», т.к. (мы это ниже увидим), вычисление поверхностных интегралов первого рода сводится к вычислению двойных интегралов.

Обозначим через sxy проекцию поверхности S на плоскость Oxy. Рассмотрим случай, когда sxy – замкнутая ограниченная область, а поверхность S такова, что она может быть задана уравнением z = f(x, y), где функция f(x,y) вместе с частными производными f’x и f’y непрерывна в sxy. Тогда формула для вычисления поверхностного интеграла первого рода для случая, когда функция F(x, y, z) непрерывна на поверхности S, имеет вид:

(4)

Таким образом, для вычисления поверхностного интеграла первого рода по поверхности S следует: используя уравнение z = f(x, y) поверхности S, заменить у подынтегральной функции переменную z функцией f(x, y), а элемент площади ds – произведением и вычислить полученный двойной интеграл по области sxy – проекции поверхности S на плоскость Oxy.

Естественно, что имеют место еще две формулы, соответствующие проектированию поверхности S на плоскости Oyz и Oxz.

Если различные участки поверхности S заданы различными уравнениями, то нужно разбить поверхность S на соответствующие части и весь интеграл вычислять как сумму интегралов, взятых по этим частям.

Пример 1.

Вычислить , где S – часть плоскости x + y + z – 1 = 0, лежащая в первом октанте.

Поверхность S проектируется на плоскость Oxy в область sxy, представляющую собой треугольник (рис. 1).

Разрешив уравнение данной плоскости относительно z, получим:

z = 1-x-y.

Таким образом, в нашем случае f(x, y) = 1-x-y и, следовательно, f’x(x, y) = -1, f’y(x, y) = = -1.

Непосредственно видно, что все они непрерывны в sxy и, значит, в соответствии с формулой (4) можем написать:

Пример 2.

Вычислить где s – часть плоскости x + y + z = 1, заключенная в первом октанте (см. рис. 1).

Запишем уравнение данной плоскости в виде z = 1-x-y. Так как
¶z/¶x = -1, ¶z/¶y = -1, то по формуле (4)

Проекцией s на плоскость xOy является треугольник D, ограниченный прямыми x+y=1, x = 0, y = 0. В этом треугольнике х меняется от 0 до 1, а при каждом фиксированном х ордината меняется от y = 0 до y = 1-x. Поэтому по формуле (4) имеем:

Пример 3.

Вычислить координаты центра тяжести С однородной полусферы радиуса R.

Выберем систему координат так, чтобы полусфера стояла на плоскости xOy, а начало координат находилось в ее центре. Тогда уравнение полусферы будет иметь вид
x2 + y2 + z2 = R2 (z > 0). Так как поверхность однородная (постоянная плотность массы), то из соображений симметрии ее центр тяжести должен находиться на оси Oz, т.е. xC = 0,
yC = 0. Формула для вычисления zC однородной поверхности s имеет вид:

В данном случае поверхность s задана уравнением x2 + y2 + z2 = R2 (z > 0), откуда Вычисляя по формуле (4) элемент поверхности сферы, получим (проверьте!)

Данная полусфера проектируется в круг D радиуса R с центром в начале координат, поэтому

Для вычисления второго интеграла были применены полярные координаты на плоскости xOy.

Таким образом, окончательно для координаты zC получаем:

Date: 2016-07-22; view: 1137; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...

mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию