Построение и вычисление двойных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.

Двойной интеграл представляет собой одно из возможных обобщений определенного интеграла на случай функции двух переменных. Дадим ему определение.

Пусть в плоской области s задана функция f(x, y). Проделаем 5 операций:

1. Разобьем область s на n частей Ds₁, Ds₂,…,D s_n, не имеющих между собой общих внутренних точек. Обозначим площади и диаметры этих частей соответственно через DS₁, DS₂,…, DS_n и l₁, l₂, …, l_n. Наибольший из диаметров обозначим через l и назовем ее рангом дробления, т. е.

2. Выберем в каждой ячейке Ds_k(k = 1, 2, …, n) произвольно по точке
(x_k; y_k) и вычислим в них значения функции f(x, y), т.е. найдем числа f(x_k, y_k).

3. Вычислим произведения f(x_k, y_k)×DS_k(k = 1, 2, …, n).

4.

5. Измельчая дробление, ищем предел для (1), т.е.

Если существует конечный предел (2), не зависящий ни от способа дробления области s на части, ни от выбора точек (x₁, y₁), (x₂, y₂),…, (x_n, y_n), то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x, y) по области s и обозначают символами:

или

При этом функцию f(x, y) называют подынтегральной функцией, s – областью интегрирования, x, y – переменными интегрирования, а ds (или dxdy) – элементом площади.

Таким образом, по определению:

Аналогичные построения двойного интеграла имеют место и тогда, когда область s лежит либо в плоскости xOz, либо в плоскости yOz. Например, если область s лежит в плоскости xOz, то получаем

Учитывая, что z = f(x, y) в пространстве определяет некоторую поверхность, проекция которой на плоскость xOy дает область s, видим, что выражение f(x_k, y_k)×DS_k дает объем цилиндра, основание которого есть DS_k, а высота равна f(x_k, y_k). Интегральная сумма равна сумме n объемов таких цилиндров. В пределе она дает объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), снизу – областью s, а с боков – цилиндрической поверхностью, направляющая которой – граница области s, а образующая – прямая, параллельная оси Oz. В этом и состоит геометрический смысл двойного интеграла.

(*)

Перечислим простейшие свойства двойного интеграла, которые непосредственно следуют из его определения и доказываются аналогично соответствующим свойствам для определенного интеграла.

1. Если f(x,y) = 1 всюду в области s, то где S означает площадь области s.

2. Постоянный множитель k подынтегральной функции можно выносить за знак двойного интеграла:

3. Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых:

Свойства 2 и 3 выражают свойство линейности двойного интеграла относительно подынтегральной функции.

4. Если область интегрирования s разбита на две части s₁ и s₂, то есть
s = s ₁+ s₂, то

Это свойство называют свойством аддитивности двойного интеграла относительно области интегрирования.

5. Если всюду в области s функция f(x,y) удовлетворяет условию f(x, y)³0, то

6. Если всюду в области s функции f(x, y) и j(x, y) удовлетворяют условию f(x, y) £ j(x, y), то

7. Имеет место неравенство:

8. (Теорема о среднем.) Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области s, то в этой области найдется хотя бы одна такая точка что будет иметь место равенство:

где S означает площадь области s.

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Имеют место теоремы.

Теорема 1.

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области s, ограниченной линиями x = a, x = b, y = j(x), y = y(x) (здесь a < b, а функции j(x)и y(x) непрерывны на промежутке [a, b] и удовлетворяют условию j(x) £ y(x)), то имеет место равенство:

Выражение, стоящее в правой части равенства (4), называется повторным (двукратным) интегралом от функции f(x, y) по области s, причем, пределы внешнего интеграла постоянны, а внутреннего – переменные (пределы внутреннего интеграла будут постоянны лишь в том случае, когда область s является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат).

Повторный интеграл, стоящий в правой части равенства (4), обычно записывают в виде:

При вычислении двойного интеграла с помощью формулы (4) сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y

при постоянном значении переменной x, а затем полученная функция от х интегрируется по х в пределах от а до b.

		При этом предполагается, что область s является правильной (простой) в направлении x = const (оси Oy), т.е. всякая прямая x = const, проходящая через внутренние точки области s, пересекает границу этой области ровно в двух точках, причем, y = j(x) и y = y(x) – ординаты, соответственно, точки входа прямой в область и точки выхода из нее (рис. 2) (иначе, границы области s должны определяться аналитически не более чем двумя выражениями).

Рис.2

Теорема 2.

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области s, ограниченной линиями y = c, y = d, x = f(y), x = y(y) (здесь c >d, а функции f(y) и y(y) непрерывны на промежутке [c,d] и удовлетворяют условию f(y) £ y(y)), то имеет место равенство:

При вычислении двойного интеграла с помощью формулы (6) сначала вычисляется внутренний интеграл при постоянном значении переменной y, а затем полученная функция от y интегрируется по y в пределах от c до d.

При этом предполагается, что область s является правильной (простой) в направлении y = const (оси Ox), т.е. всякая прямая y = const, проходящая через внутренние точки области, пересекает границу этой области ровно в двух точках, причем, f(y) и y(y) – ординаты, соответственно, точки входа прямой в область и точки выхода из нее (рис. 3).

Если область интегрирования s имеет более сложный вид, то ее следует разбить на конечное число частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы 1 или 2. Интеграл по области s заменяется при этом суммой интегралов по ее частям.

Заметим в заключение, что прежде чем решить вопрос об использовании либо формулы (5), либо (6), следует изобразить область s графически и выбрать, какая из переменных x или y будет внешней переменной интегрирования, а какая внутренней.

Пример 1.

Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области s, ограниченной прямыми x = 1, x = 2, y = 0, y = 2.

Вычисляем данный интеграл по формуле (5):

Внутренний интеграл вычисляем, считая x постоянным (т. е. по у):

Полученную функцию от х интегрируем по отрезку [1, 2] по переменной х:

Обычно вычисления внутреннего интеграла отдельно не делают, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:

Такой записью мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Пример 2.

	Вычислить двойной интеграл если область s ограничена параболами z = y2 и y = z2. Область s (рис. 4) – простая относительно оси Oy. Она имеет нижнюю границу z = y2 и верхнюю границу y = z2, т.е. (перед радикалом ставим только знак «+», т.к. область s находится в той части области плоскости yOz, где z > 0). При любом фиксированном значении y из отрезка [0, 1] z меняется от z = y2 до , поэтому имеем:

Интеграл взят методом интегрирования по частям, причем при подстановке нижнего предела использован тот факт, что

Пример 3.

Область s (рис. 5) является простой относительно оси Oy. Левая ее граница x = 0, а правая x = 2+siny. При любом фиксированном значении y из отрезка [0, 2p] x меняется от x = 0 до x = 2 + siny, поэтому по формуле (6) имеем:

Пример 4.

Вычислить интеграл , если область s ограничена линиями y = (x– 1)² и y = x + 1.

Напомним, что при вычислении внутреннего интеграла «внешняя» переменная х считается постоянной:

Интегрируя теперь по «внешней» переменной и применяя для упрощения вычислений замены t = x + 1 и t = x – 1 в интегралах, получим:

Пример 5.

Вычислить двойной интеграл если область s ограничена прямой y = x + 3 и параболой y = x² + 1.

Пример 6.

Вычислить интеграл по области s, ограниченной линиями y = - x, y = 1, y = x² (рис. 8).