Особенности работы насыщенных однофазных и трехфазных трансформаторов 2 page

dt

(1.107)

Так как рассматривается симметричная машина, активные сопротивления обмоток по

осям статора равны

Rs = rs = rs, а

Rr = rr

= rr

a b a b

Из (1.107) после разложения результирующих векторов на составляющие по координатным осям получаются дифференциальные уравнения напряжений в естественных или фазовых непреобразованных координатах:

us = is × r s + a

a a a dt

s

us = is × r s + d Y b;

b b b dt

r

- ur

= ir × r r + d Y a

a a a dt

r ï

- ur

= ir × r r + d Y b,ï

b b b

dt þ

В (1.108) частоты токов статора и ротора различны, поэтому токи и потокосцепления обмоток статора и ротора имеют также различные частоты, коэффициенты взаимной индуктивности и полной индуктивности перед токами в (1.103) изменяются с двойной частотой по отношению к токам и напряжению. Знак минус в уравнениях ротора в (1.108) свидетельствует о том, что активная мощность поступает со статора в ротор.

Если подставить значения потокосцеплений из (1.103) в (1.108), получим громоздкие уравнения с периодическими коэффициентами. Чтобы упростить эти уравнения, надо преобразовать их к уравнениям с постоянными коэффициентами.

В теории электрических машин широко применяется преобразование координат. Преобразование координат осуществляется при условии инвариантности (неизменности) мощности и изменяющейся частоте.

Рассмотрим процессы преобразования энергии в электрической машине. Со стороны наблюдателя (системы координат) система координат вращается в воздушном зазоре

машины с произвольной скоростью

w. При неподвижном статоре частота

Так как

cos(q) +

j sin(q) = e jq, векторные уравнения для координатных осей,

вращающихся с произвольной скоростью

w = dqk.

(1.109)

k dt

примут следующий вид:

U s × e jqk

= Rs × I s × e jqk

e jqk) ü

,

dt

× e j (qk - q)

dt

ïï

ý

).ï

ïþ

(1.110)

Взяв производные в (1.110), получим

U s = Rs

I s

+ d Y +

r

j × w × Y s, ü

ý

(1.111)

dt

+ j × (w

- w) × Y r. ï

Уравнения (1.111) представляют собой наиболее простой и общий вид уравнений напряжений для обобщенной машины.

Можно иметь бесконечное число координат, соответствующих любой скорости

w. В

= 0) получили название координат

= w = w В

Для исследования синхронных машин применяют систему координат d, q. При этом

, а наблюдатель «помещается» на ротор. Находясь на роторе,

наблюдатель «видит» в воздушном зазоре неподвижные относительно ротора поля статора и ротора. Если мысленно остановить ротор, картина для наблюдателя не изменится. Моделирование уравнений в системе координат d, q на ЭВМ производится на постоянном токе. В системе координат a, b моделирование уравнений производится на переменном токе.

Системы координат a, b и d, q — наиболее распространенные. Естественные

непреобразованные координаты и координаты, вращающиеся с произвольной скоростью, применяются реже. Вопрос о применении и преобразовании координат подробно рассматривается в различной литературе

= 0),когдаосикоординатсвязанысо

статором и неподвижны, уравнения (1.111) приобретают вид

dt ïï

r ý

(1.112)

dt

- j × w

× Y r. ï

ïþ

Разложив результирующие векторы по осям a, b получим уравнения напряжений обобщенной машины, выраженные через потокосцепления:

us = r s × is + a

a a a dt

s

d Y

us = r s × is + b

b b b dt

r

ur = r r × ir + d Y a

a a a dt

r ï

d Y

ur = r r × ir + b - w

× Y r. ï

b b b dt

р a ïþ

вращающейся машине, в обмотки ротора вводится ЭДС

× Y r - w

Y r. При этом

Значения потокосцеплений для системы координат a, b:

Y s = Ls × is + M × ir; ü

a a a a

is

+ M × ir;ï

Y r = Lr

ir + M × is; ý

(1.114)

a a

Y r = Lr

a

ir

a

+

b b b b þ

Подставив эти потокосцепления в (1.113), получим уравнения электромеханического

преобразования энергии в системе координат a, b выраженные через токи. Уравнения напряжений, выраженные через токи:

us = r s × is + Ls

dis

+ M ×

dir ü

a; ï

a a a

a dt dt

ï

s r

× is

+ Ls ×

dib

dt

+ M ×

dib;

dt

s

ï

ï

ý (1.115)

ur = r r × ir + Lr

dia

+ M × dia + w

Lr

× ir + w

M × is;ï

a a a

a dt

r

dt р b b р b ï

s ï

ur = r r × ir

+ Lr

di di

× b + M × b - w

Lr

× ir - w

M × is,ï

b b b

b dt

dt р a a р

a ïþ

в матричной форме:

a d

d × Lsdt

d × M 0 0

a = dt

r + × Lr

a dt a

w × Lr

w × M

(1.116)

r d Lr

d M i

us

- w × L

rb + × b × b

dt dt is

Здесь s s

r r s s

d × M dt

r s

r s +

d × Ls b

ua,

ub,

ua,

ub,

ia,

ib,

ia, ib

соответственно напряжения и токи в обмотках

статора и ротора по осям a и b;

rs,

rs,

rr,

rr — активные сопротивления обмоток

Ls,

Ls,

Lr,

Lr, — полные

s

sa

sb þ

(1.117)

s r

r - индуктивности рассеяния обмоток статора и ротора по осям a

Индуктивные и активные сопротивления относятся к фазе машины и определяются расчетным или опытным путем по схемам замещения и формулам проектирования.

Уравнения напряжений для неподвижных обмоток в обычной записи имеют вид

us = r s × i s + Ls

di s

a

dir

+ M × a,

(1.118)

a a a

a dt dt

а для вращающихся обмоток

ua = ra

× ia + La ×

dir

+ M ×

dis

+ w × L × i

+ w × M × i

(1.119)

r

dt dt

Уравнения (1.115, 1.116) записаны для приведенной машины с псевдонеподвижными обмотками, у которой одинаковое число витков на статоре и роторе. Чтобы сохранить инвариантность мощности в реальной машине и машине с неподвижными обмотками, в уравнения вводят ЭДС вращения, выражающиеся произведениями

w × L × i + w × M × i

для обмотки ротора по оси a и - w

L × i

- w × M × i

по оси

r r s

b.

r r s

р a a р a

Уравнения Кирхгофа (1.115, 1.116) включают в себя напряжения, падения напряжения на активных сопротивлениях, ЭДС вращения, которые индуктируются только во вращающихся обмотках, и трансформаторные ЭДС:

s a

r

La ×