Расчёт аддитивных и мультипликативных составляющих погрешностей результатов измерений.

По зависимости абсолютной погрешности от значений из­меряемой величины различают погрешности:

● аддитивные ∆_а, не зависящие от измеряемой величины;

● мультипликативные ∆_м, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;

●нелинейные ∆_н, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метроло­гических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитив­ные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании по­грешностей СИ.

Примеры аддитивных погрешностей − от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: из­менение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

Данные разновидности погрешностей иногда называют также так:

● аддитивные - погрешность нуля;

● мультипликативные - погрешность крутизны характеристики;

● нелинейные - погрешность нелинейности.

В связи с тем, что аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности характерны для средства измерения, причём в диапазоне измеряемых величин, то исходя из заданного истинного (действительного) значения линейного размера элемента конструкции (44 см), допустим, что использованное средство измерений, позволяет производить измерения в диапазоне от 10 см до 100 см, причём обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью 11,36 %, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы. Исходя из выбранного диапазона измерений средства измерений (10 см – 100 см), возьмём из него, например, 10 равноудалённых фиксированных (эталонных) значений линейного размера элемента конструкции, включая заданное истинное (действительное) значение, равное 1,1 метра. В результате ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров L _{эт i}, использованным средством измерения, будет иметь вид: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 (см).

Используя выражение (2.5), можно определить значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда (L _{эт i}), а именно:

(3.1)

Рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности ∆_{с i} для всех членов ряда, с учётом выполнения правил округления результатов измерений и погрешностей измерений (приведены в Приложении 1), представлены в таблице 3.1

Таблица 3.1

Результаты расчетов суммарной, аддитивной и мультипликативной

абсолютных погрешностей

№ члена ряда	L эт i,с м	, %	∆с i, см	Δа, см	Δм, см
		11,36	1,136	1,136
		11,36	2,272	1,136	1,136
		11,36	3,408	1,136	2,272
		11,36	4,544	1,136	3,408
		11,36	5,68	1,136	4,544
		11,36	6,816	1,136	5,68
		11,36	7,952	1,136	6,816
		11,36	9,088	1,136	7,952
		11,36	10,224	1,136	9,088
		11,36	11,36	1,136	10,224

Используя результаты расчётов суммарной абсолютной погрешности ∆_{с i} и ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров L _{эт i}, строится график (см. рис.3.2) зависимости , при этом аппроксимируются точки по которым он строится.

Рис. 3.2. График суммарной абсолютной погрешности

Рис.3.3. График абсолютной аддитивной погрешности

Рис. 3.4. График абсолютной мультипликативной погрешности

Исходя из того, что использованное средство измерения обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью δ_ср 11,36 %, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы и использовалось для выделения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей измерений в данном разделе работы, то графиком этой погрешности будет горизонтальная прямая с ординатой 11,36 % для всего диапазона изменения линейного размера L_ЭТ.

Рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности (δ_{а i}) для каждого измерения средством измерения, используя полученное значение Δ_а= 1,136 см и зависимость вида:

Результаты расчётов относительных аддитивных составляющих погрешностей (δ_{а i}) представлены в таблице 3.2, а график на рис.3.5.

Используя результаты расчётов абсолютной мультипликативной составляющей погрешности, которые приведены в таблице 3.1, рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности (δ_{м i}) для каждого измерения средством измерения, используя зависимость вида:

Результаты расчётов относительных мультипликативных составляющих погрешностей (δ_{м i}) представлены в таблице 3.2, а график на рис. 3.6.

Таблица 3.2

Результаты расчётов относительных составляющих погрешностей измерений

Рис. 3.2. График суммарной относительной погрешности

Рис.3.5. График относительной аддитивной погрешности

Рис.3.6. График относительной мультипликативной погрешности

ВЫВОДЫ

Выполненная контрольная работа позволила:

1)произвести расчёт абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений линейного размера конструкции строящегося здания, средние значения которых составили соответственно:

∆_ср=5 cм, %, .

2)рассчитать и построить графики суммарной абсолютной и относительной погрешностей результатов измерений линейного размера конструкции химического оборудования, выделить из них и построить графики аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей;