Биноминальное распределение

«Количественные показатели надёжности ТС и их элементов»

Задача 1. Определить вероятность попадания нормально распределённой величины Т – наработки до отказа в интервал mT - 3σ_T < T < mT + 3σ_T (см. рис. 1).

Решение. По формуле Р (mT - 3σ_T < T < mT + 3σ_T) =

=

По таблице функций Лапласа = 0,9972, т.е. вероятность попадания Т в указанный интервал близка к 1. Границы ±3σ_T принимаются за границы практически предельно возможных значений нормально распределённой случайной величины.

Задача 2. Наработка на отказ технологической системы имеет нормальное распределение с параметрами mT = 100 часов и σ_T = 20 часов. Определить вероятность безотказной работы для ряда значений наработки.

Для Т = 20 часов (рис. 1).

По формуле

Р (20 < Т < ∞) = =

В соответствии со свойствами функции Лапласа Ф (2, 82) = 0,9999, т.е. вероятность безотказной работы при наработке Т = 20 часов (вероятность того, что Т будет принимать значения больше 20 часов) близка к 1.

Для Т = 40 часов

Р (40 < Т < ∞)

0,9986.

Для Т = 120 часов

Р (120 < Т < ∞) = =

Задача 3. Для условий задачи 2 определить наработку , в течение которой с вероятностью Р (Т) = γ = 0,95 отказа не произойдёт. Величину γ выразить в процентах (гамма-процентная наработка).

С учётом свойств функции Лапласа, можно записать:

По таблице значений функций Лапласа для Ф(х) = 0,9 имеем

Таким образом, решением задачи установлено, что безотказная работа с вероятностью 0,95 будет выполняться технологической системой в течение 67,2 часов. Вероятность отказов за это время работы равна 0,05. F (Т) = 0,05.

Вывод: необходимо (желательно) предупредительно устранять через каждые 67,2 часа возникшие неисправности в технологической системе, тогда Р (Т) будет равной 0,95.

Можно использовать для расчёта показателя надёжности Т _γ более простую формулу. Время Т _γ безотказной работы с вероятность γ = 0,95 при нормальном распределении Т равно

Т _γ = mT – 1,16 σ_Т.

Численный коэффициент перед σ_Т обозначим через u _γ. Он определяется для вероятности γ по таблице. Таким образом,

Т _γ = mT – u _γ σ_Т.

u _γ называется квантелью нормального распределения.

Например, для условий задачи №3, для вероятности безотказной работы γ = 0,95 по таблице определяем u _γ = 1,645.

Тогда Т _γ =100 – 1,645×20 = 67,2 часа.