Количественные показатели надежности ТС и их элементов

В теории надежности для решения основной задачи – обеспечения надежности ТС, используются методы теории вероятности и статистики (в основном – для массового и к/серийного производств). Ряд задач решаются математическими методами (например, определение оптимальных сроков подналадки, остаточного ресурса).

Наработку до отказа и другие нерегламентированные временные показатели надежности следует рассматривать как случайные величины. Их можно прогнозировать с помощью методов теории вероятностей. Точно определить их значение возможно при диагностировании ТС.

Как случайная величина наработка до отказа Т будет полностью описана, если известен закон ее распределения. Законом распределения Т называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями Т и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может быть задан в виде функции распределения наработки до отказа F (Т), определяющей вероятность Р того, что Т не превысит некоторого значения Т_i, т.е. Т попадет на временной шкале на участок от – ∞ до Т_i.

F (T) = P (T ≤ Т_i). (2.1)

Функция F (Т), называемая интегральным законом распределения имеет следующие свойства:

1) F (Т) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при Т ₂ >Т ₁, F (Т ₂) > F (Т ₁). Отсюда следует, что, чем больше принята Т_i, тем больше вероятность отказа ТС.

2) При T_i → 0,функция распределения стремится к нулю F (0) ≈ 0.

3) При T_i → + ∞, F (T) = F (+ ∞) = 1.

Из этих свойств следует, что график функции F (Т) – график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и достигают единицы (рис. 2.1).

Если принять любое значение T_i, то событие Т≤ T_i означает отказ в течение времени T_i, а вероятность P (T ≤T_i) – вероятность отказа за время T_i (ордината на графике F (Т).

Статистическая вероятность отказа за время T_i определяется как отношение числа отказов n (T_i) c наработкой до отказа менее T_i, к общему числу отказов N.

(2.2)

Основным показателем безотказности ТС является вероятность безотказной работы Р (Т). Это вероятность того, что наработка до отказа Т не будет ниже некоторого назначенного значения T_i, т.е. Т попадет на участок графика от T_i до + ∞. Если задано время T_i, то все случаи, когда работоспособное состояние ТС сохраняется при Т > Т_i, относятся к безотказной работе.

Рис. 2.1 Функции распределения и плотность распределения наработки до отказа

Статистически вероятность безотказной работы в течение времени Т_i рассчитывается как отношение числа отказов с наработкой больше Т_i к общему числу отказов.

(2.3)

Тогда Р (Т_i) = P (T > T_i) = 1 – F (T_i).

Вероятность отказа F (T_i) = 1 – P (T_i).

На рис. 2.1 показана зависимость Р (Т). Точка пересечения F (Т) и Р (Т) определяет среднюю (медианную) наработку до отказа. В этой точке Р (Т) и F (Т) равны 0,5.

Каждой ТС в зависимости от ее надежности соответствует своя кривая Р (Т). Для более надежной ТС – кривая Р ₂ (Т) и соответственно F ₂ (Т). Это означает, что при Т < T ₂ вероятность отказов равна 0, а вероятность безотказной работы равна 1. Точка Т ₂ определяет срок эксплуатации без отказов.

Вероятность безотказной работы в течение времени Т_i может быть найдена через плотность распределения случайной величины – наработки до отказа.

Вычислим вероятность попадания наработки до отказа на участок от Т_i до Т_i + Δ Т:

P (T_i < T < T_i + Δ Т) = F (T_i + Δ Т) – F (T_i). (2.4)

Это приращение функции распределения на участке Δ Т. Тогда средняя вероятность приращения на участке Δ Т при Δ Т → 0 дает производную от функции распределения

(2.5)

Обозначим F^’ (T_i) = f (T). Функция f (T) – производная функции распределения F (T) характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины наработки до отказа ТС по принятому критерию (выходному параметру). Эта функция называется плотностью распределения наработки до отказа f (T) и отображается кривой, приведенной на рис. 2.1.

Вероятность попадания наработки до отказа на элементарный участок Δ Т → dT равна f (T) dT. Как следует из предыдущего соотношения, f (T) dT – площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dT. Тогда вероятность попадания наработки до отказа (вероятность отказа) на участок от Т ₁ до Т ₂ равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е интегралу

(2.6)

определяющему площадь под кривой плотности распределения на участке Т ₁ – Т ₂.

Выразим функцию распределения через плотность распределения. По определению

F (T_i) = P (T < T_i) = P (– ∞ < T < T_i). (2.7)

Отсюда

(2.8)

Эта формула определяет вероятность того, что наработка до отказа не превышает некоторого значения Т_i, т.е. вероятность отказа F (T) равна площади под кривой f (T) на участке от – ∞ до Т_i. Тогда вероятность безотказной работы ТС в течение времени Т_i будет равна площади под кривой f (T) на участке от Т_i до + ∞, и рассчитывается по формуле

(2.9)

Т.о., получено выражение для определения вероятности безотказной работы через плотность распределения наработки до отказа. Для определения этого главного показателя безотказности, плотность распределения наработки до отказа получают в результате статистических исследований.

Рассмотрим еще один показатель надежности.

Для анализа причин отказов, например, партии режущего инструмента, работающего в ТС, определяют такой показатель надежности как интенсивность отказов λ (Т) – вероятность отказа в единицу времени Δ Т после времени Т при условии, что до этого времени отказов не было. Интенсивность отказов выражают формулой

(2.10)

Для определения статистической оценки интенсивности отказов правую и левую части формулы умножим на Δ Т

f (T)ּ Δ T – вероятность попадания наработки до отказа на участок Δ Т, вероятность отказа на этом участке;

f (T)ּ Δ T ּ N – среднее число отказов за время Δ Т;

P (T)ּ N – среднее число случаев безотказной работы.

Тогда статистически интенсивность отказов определится

(2.12)

где – число отказов в единицу времени.

(2.13)

где N (T) + N (T +Δ T) – число случаев безотказной работы соответственно в начале и конце интервала Δ Т.

Зависимость интенсивности отказов от времени может иметь три зоны, каждая из которых отображает особенности отказов, изменяющиеся с течением времени работы объекта (рис.2.2).

Зона I. λ(T +Δ T) < λ(T). Интенсивность отказов здесь высокая, но уменьшающаяся с течением времени. Это связано с наличием дефектов, приобретенных при изготовлении объектов, т.е. происходит отбор ненадежных объектов (зона приработки).

Зона II. λ(T +Δ T) = λ(T). Основной временной участок работы. Интенсивность отказов стабильна и отказы носят в основном случайный характер.

Зона III. λ(T +Δ T) > λ(T). Повышение интенсивности отказов связано с повреждениями, приобретенными при эксплуатации за длительный период времени. Например, усталостные повреждения.

По зависимости λ(T) удобно оценивать склонность элементов ТС к изменению состояния с течением времени работы.