Тема 10. Комбінації многогранників і тіл обертання

91. Навколо конуса з радіусом основи R описано довільну піраміду, периметр основи якої дорівнює 2 p. Визначити відношення об’ємів і відношення бічних поверхонь конуса та піраміди.

92. Навколо правильної трикутної призми, висота якої удвічі більша за сторону, описано кулю. Як відноситься її об’єм до об’єму призми?

93. У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну піраміду, основа якої ділить перпендикулярний до неї радіус навпіл. Визначити поверхню кулі, вписаної в піраміду.

94. Довести, що коли у многогранник можна вписати сферу, то його об’єм дорівнює 1/3 добутку повної поверхні многогранника на радіус вписаної сфери.

95. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, гіпотенуза якого с і гострий кут . Основою висоти піраміди є точка перетину його бісектрис. Бічне ребро, що містить вершину даного кута, утворює з висотою піраміди кут . Визначити об’єм конуса, вписаного в дану піраміду. Обчислити, якщо с = 12 см, = 60º, = 30º.

96. В основі піраміди прямокутний трикутник з гіпотенузою с і кутом . Усі бічні грані піраміди однаково нахилені до площини основи. Бічне ребро, що містить вершину прямого кута даного трикутника, утворює з площиною кут . Визначити об’єм конуса, вписаного в дану піраміду. Обчислити, якщо с = 6 см, = 60º, = =45º.

97. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Через дві рівні діагоналі двох бічних граней, кут між якими дорівнює , проведено переріз площею S. Визначити об’єм циліндра, описаного навколо даної призми. Обчислити, якщо S = 144 см , = 60º, = 90º.

98. У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з прилеглими до неї сторонами основи кути і . Знайти відношення об’єму паралелепіпеда до об’єму циліндра.

99. Конус описано навколо куба так: чотири вершини куба лежать у площині основи конуса, а чотири інші – на його бічній поверхні. Який найменший об’єм може мати такий конус, якщо ребро куба має довжину а?

100. Навколо кулі, об’єм якої V, описана правильна трикутна піраміда. Чому дорівнює найбільший можливий об’єм цієї піраміди?