Тема 8. Куля та її частини

71. Металева куля радіуса R переплавлена на конус, бічна поверхня якого втричі більша за площу основи. Обчислити висоту конуса.

72. Знайти відношення поверхні і об’єму кулі відповідно до поверхні і об’єму описаного навколо неї конуса з рівностороннім осьовим перерізом.

73. Дано циліндр і кулю. Радіуси основи циліндра і великого круга кулі однакові. Повна поверхня циліндра відноситься до поверхні кулі як m: n. Знайти відношення їхніх об’ємів.

74. На сферичній поверхні радіуса R лежать всі вершини рівнобічної трапеції, менша основа якої дорівнює бічній стороні, а гострий кут дорівнює . Знайти відстань від центра сфери до площини трапеції, якщо більша основа трапеції дорівнює радіусу сфери.

75. На столі, дотикаючись одна до одної, лежать чотири кулі однакового радіуса R. Зверху, у “ямку”, утворену ними, покладено п’яту кулю того самого радіуса. Знайти відстань від верхньої точки п’ятої кулі до площини столу.

76. Три сфери радіуса R дотикаються до площини , і кожна з цих сфер дотикається до двох інших. Знайти радіус четвертої сфери, що дотикається до площини і кожної з трьох даних сфер.

77. Навколо кулі описано зрізаний конус, площа нижньої основи якого в a разів більша за площу його верхньої основи. У скільки разів об’єм зрізаного конуса більший за об’єм кулі?

78. У півкулю радіуса R вписано куб так, що чотири його вершини лежать на основі півкулі, а інші чотири вершини розміщені на її сферичній поверхні. Обчислити об’єм куба.

79. Знайти поверхню кулі, вписаної в піраміду, в основі якої лежить трикутник із сторонами 13, 14 і 15 см, якщо вершина піраміди віддалена від кожної сторони основи на 15 см.

80. На поверхні кулі дано три точки, прямолінійні відстані між якими 32, 48 і 48 см. Знайти відстань від центра кулі до площини, що проходить через ці точки, якщо ця площина ділить перпендикулярний до неї діаметр кулі на відрізки, різниця яких становить 42 см.