Тема 5. Комбінації многогранників

41. Центр верхньої основи правильної чотирикутної призми і середини сторін нижньої основи є вершинами вписаної в призму піраміди, об’єм якої дорівнює V. Знайти об’єм призми.

42. Правильна шестикутна призма, бічні ребра якої дорівнюють по 3 см, розрізана діагональною площиною на дві рівні чотирикутні призми. Визначити об’єм шестикутної призми, якщо бічна поверхня чотирикутної призми дорівнює 30 см .

43. У тетраедрі розміщено правильну трикутну призму так, що вершини однієї її основи містяться на бічних ребрах тетраедра, другої – у площині його основи. Ребра тетраедра дорівнюють а. Визначити об’єм призми, якщо всі її ребра однакові.

44. Знайти об’єм спільної частини двох кубів, якщо один з них утворено обертанням другого на 90° навколо осі, яка проходить через середню лінію однієї з його граней. Ребро куба дорівнює а.

45. Діагоналі двох однакових кубів з ребром а лежать на одній і тій самій прямій. Вершина другого куба збігається з центром першого, і другий куб повернуто навколо на 60° відносно першого. Знайти об’єм спільної частини цих кубів.

46. У правильній призмі АВСА ₁ В ₁ С ₁ сторона основи має довжину 2 а, бічне ребро – довжину а. Проведено три площини: перша – через вершину А перпендикулярно до АВ ₁, друга – через вершину В перпендикулярно до ВС ₁, третя – через вершину С перпендикулярно до СА ₁. Знайти об’єм тетраедра, обмеженого цими трьома площинами і площиною А ₁ В ₁ С ₁.

47. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а, а бічне ребро утворює з площиною основи кут . У цю піраміду вписано куб так, що чотири його вершини лежать на апофемах піраміди, чотири – на основі піраміди. Знайти ребро куба.

48. Два рівні куби з ребром а мають спільний відрізок AB, кінцями якого є середини двох протилежних ребер, що не належать одній грані. Один з кубів утворено обертанням другого навколо прямої AB на 90°. Знайти об’єм спільної частини кубів.

49. Через кожне ребро правильного тетраедра проведено площину, паралельну до протилежного ребра. Знайти відношення об’єму утвореного паралелепіпеда до об’єму тетраедра.

50. Об’єм тетраедра дорівнює V. Усі вершини паралелепіпеда лежать на поверхні тетраедра, причому три грані паралелепіпеда належать трьом граням тетраедра. Знайти найбільший можливий об’єм такого паралелепіпеда.

Тема 6. Циліндр

51. Циліндр утворено обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. Виразити об’єм V циліндра через площу S цього прямокутника і довжину С кола, яке описує точка перетину його діагоналей.

52. У циліндрі площа перерізу, перпендикулярного до твірної дорівнює m, а площа осьового перерізу дорівнює n. Визначити повну поверхню і об’єм циліндра.

53. Висота циліндра дорівнює радіусу його основи і має довжину а. Через вісь циліндра проведено іншу циліндричну поверхню, яка ділить коло основи на дві дуги, довжини яких відносяться як 2: 1. Ця циліндрична поверхня ділить даний циліндр на дві частини. Знайти бічну поверхню і об’єм більшої частини циліндра.

54. Дано циліндр і кулю, радіуси основи циліндра і великого круга кулі однакові. Повна поверхня циліндра відноситься до поверхні кулі як m: n. Знайти відношення їхніх об’ємів.

55. Дві вершини рівностороннього трикутника із стороною а лежать на колі верхньої основи циліндра, а третя вершина – на колі нижньої основи. Площина трикутника утворює з твірною циліндра кут . Знайти бічну поверхню циліндра.

56. Осьовий переріз циліндра – квадрат. Відрізок АВ, який сполучає точку А кола верхньої основи з точкою В кола нижньої основи циліндра, дорівнює а і знаходиться на відстані b від осі циліндра. Знайти кут між прямою АВ і площиною основи циліндра.

57. У циліндрі паралельно, його осі, проведено площину, яка перетинає основу по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом . Діагональ перерізу дорівнює d. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з кінцем хорди нижньої основи, утворює з площиною нижньої основи кут . Визначити бічну поверхню циліндра. Обчислити, якщо d =18 см, = 120º, = 45º.

58. У циліндрі паралельно його осі проведено площину, яка перетинає нижню основу по хорді а. Діагональ перерізу нахилена до площини основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з серединою хорди нижньої основи, утворює з площиною нижньої основи кут . Визначити об'єм циліндра. Обчислити, якщо а =6 см, =60º, =45º.

59. У циліндрі, паралельно його вісі, проведено площину, яка перетинає нижню основу по хорді, яку видно з центра верхньої основи під кутом , а з нижньої під кутом . Визначити площу перерізу, якщо висота циліндра дорівнює Н. Обчислити, якщо Н =24 см, =60º, = 120º.

60. У нижній основі циліндра проведено хорду, яка віддалена від центра верхньої основи на відстань d і яку видно з центра нижньої основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з нижньою основою кут . Визначити бічну поверхню циліндра. Обчислити, якщо d = 12 см, =60º, = 120º.

Тема 7. Конус

61. Виразити об’єм конуса через його бічну поверхню S і відстань r від центра основи до твірної.

62. Радіус основи конуса дорівнює R, а кут при вершині в розгортці його бічної поверхні дорівнює 90°. Визначити об’єм конуса.

63. Висоту конуса поділено на три рівні відрізки, і через точки поділу паралельно до основи проведено площини, які розділяють конус на три частини. Знайти об’єм середнього зрізаного конуса, якщо об’єм даного конуса дорівнює V.

64. Конус утворено обертанням прямокутного трикутника площею S навколо одного з катетів. Знайти об’єм конуса, якщо довжина кола, описаного при обертанні цього трикутника точкою перетину його медіан, дорівнює l.

65. Повна поверхня конуса дорівнює πS кв. од. Розгорнута на площині бічна поверхня конуса є сектором з кутом 60°. Визначити об’єм конуса.

66. Знайти кут між твірною конуса і площиною основи, якщо бічна поверхня конуса дорівнює сумі площ основи і осьового перерізу.

67. Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено площину. Площа перерізу відноситься до площі повної поверхні конуса як 2: . Знайти кут між твірною і висотою конуса.

68. У конусі через його вершину проведено площину, яка перетинає основу по хорді, яку видно з вершини під кутом , а з центра основи під кутом . Визначити об’єм конуса, якщо відстань від вершини до хорди дорівнює l. Обчислити, якщо l = 6 см, = 60º, = 120º.

69. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, кут при основі дорівнює . Цей трикутник обертається навколо прямої, що проходить через протилежну основі вершину, паралельно бісектрисі кута . Визначити поверхню тіла обертання. Обчислити, якщо b = 12 см, = 60º.

70. Рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює а і кут при вершині , обертається навколо осі, яка проходить через його вершину і перпендикулярна до бічної сторони. Обчислити, якщо а = 12 см, = 60º.