Тема 4. Многогранники, їх перерізи

31. Визначити об’єм правильної чотирикутної піраміди, якщо її бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°, а площа діагонального перерізу дорівнює S.

32. Площа того перерізу правильного тетраедра, який має форму квадрата, дорівнює m . Знайти площу поверхні тетраедра.

33. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гіпотенузою, яка дорівнює с, і гострим кутом 30°. Через гіпотенузу нижньої основи і вершину прямого кута верхньої основи проведено площину, яка утворює з площиною основи кут 45°. Визначити об’єм трикутної піраміди, відтятої від призми площиною.

34. Через сторону верхньої основи трикутної зрізаної піраміди проведено площину паралельно до протилежного бічного ребра. У якому відношенні розділено об’єм зрізаної піраміди. якщо відповідні сторони основ відносяться як 1: 2?

35. Через вершину основи і середини двох бічних ребер правильної трикутної піраміди проведено площину. Знайти відношення бічної поверхні піраміди до площі її основи, якщо відомо, що січна площина перпендикулярна до бічної грані.

36. Через сторону основи правильної чотирикутної піраміди проведено площину, яка відтинає від протилежної грані трикутник площею 4 см . Знайти бічну поверхню піраміди, яка відтята проведеною площиною від даної піраміди, якщо бічна поверхня даної піраміди дорівнює 25 см .

37. В основі прямої призми лежить ромб. Через більшу діагональ нижньої основи і вершину тупого кута верхньої основи проведено переріз, який утворює з площиною основи кут . Діагональ бічної грані дорівнює l і нахилена до до площини основи під кутом . Визначити площу перерізу. Обчислити, якщо l = 12 см = 45º, = 30º.

38. Сторона основи АВС правильної піраміди SABC має довжину а, бічне ребро – довжину b. На якій відстані від прямої ВС слід провести переріз піраміди, паралельно до ребер ВС і SA, щоб його площа була найбільшою з можливих?

39. Розглядаються перерізи куба площинами, перпендикулярними до однієї з його діагоналей. Визначити найбільшу можливу площу перерізу, якщо ребро куба має довжину а.

40. Через точку, яка ділить ребро правильного тетраедра у відношенні 1: 4, проведено площину, перпендикулярну до цього ребра. Знайти відношення об’ємів утворених частин тетраедра.