Аналогично находим M3(–1,–3).

Пусть l ₃ – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB, а l ₁ – к BC. Тогда = (– 4, 6) ^ l ₃ и l ₃ проходит через M ₃ . Поэтому ее уравнение:

– 4(x +1) + 6(y +3) = 0.

Аналогично = (9, 9) ^ l ₃. Поэтому уравнение l ₁:

9(x – ) + 9(y –) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l ₁ I l ₃. Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l ₁ и l ₃ :

x + y – 6 = 0,

– 4 x + 6 y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10 y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O (5, 1).

Радиус равен расстоянию от точки О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =½½= =.

Значит уравнение окружности:

(x – 5)² + (y –1)² = 65.

2. Прежде, чем решать задачу, следует повторить параграф «Полярные координаты».

B (6, ), C (4, ).

Решение. Нарисуем чертеж к задаче, построив точки B и C по их полярным координатам. Из чертежа и геометрического смысла полярных координат находим, что

AB = 6, AC = 4, Ð BAC = |j₂ - j₁| = – = .

Тогда

S_{Δ ABC} = AB × AC ×sinÐ BAC = ×6×4×sin = 12× = 6.

По теореме косинусов

BC ²= AB ² + AC ² – 2× AB × AC ×cosÐ BAC = 36 + 16 – 2×6×4×(– ) = 76,

BC = = 2.

3. Прежде, чем решать эту задачу, следует повторить параграф «Взаимное расположение прямых на плоскости».

а). l ₁: 2 x + y + 5 = 0, l ₂: x - 7 y +11 = 0.

Решение. Если прямые l ₁ и l ₂ заданы своими общими уравнениями

a ₁ x + b ₁ y + d ₁= 0, a ₂ x + b ₂ y + d ₂= 0,

то

l ₁½½ l ₂ Û = ¹ ; l ₁ = l ₂ Û = =.

В нашем случае ¹, поэтому прямые не параллельны и не совпадают. Значит, они пересекаются. Угол между прямыми вычисляется по формуле cos a = , где и – векторы нормали к этим прямым. В нашем случае

(2, 1), (5, 7), · = 2·5 - 1· 7 = -5;

| | = =, | | = = 5.

Значит, cos a = =.

Ответ: a = arccos.

б) p₁: x – 2 y + 8 = 0,

p₂: 2 x – 2 y –15 = 0.

Решение. Проверяем прямые на параллельность или совпадение:

= ¹

Значит, p₁½½ p₂. Расстояние между прямыми есть длина их общего перпендикуляра. Расстояние от точки A (x, y) до прямой, заданной уравнением ax + by + c = 0, находится по формуле

h =.

Выберем точку А Î l ₁. Для этого надо подобрать любые три координаты, удовлетворяющие уравнению l ₁. В нашем случае, самый простой выбор: A (0, 4). Расстояние от A до l ₂ и будет расстоянием между l ₁ и l ₂:

h = =.

4. Прежде, чем решать задачу, следует повторить параграфы «Скалярное произведение», «Векторное произведение» «Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах», «Смешанное произведение».

A (4, 0, 1), B (5,–1, 1), C (4, 7,–5), S (7, 5, 2).

Решение. Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

(1,–1, 0), (0, 7,– 6), (3, 5, 1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда:

V = ½··½.

Смешанное произведение можно вычислить так:

·· =.

Для вычисления площади основания нам понадобится векторное произведение ´. Поэтому проще воспользоваться определением смешанного произведения: ·· = (´)·. При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.

´ = = i – j + k = 6 i + 6 j + 7 k.

S _{Δ ABC} = ½´½= = .

(´)· = 6×3 + 6×5 + 7×1 = 55. V = ½(´)·½= .

C другой стороны, V = S _{Δ ABC} · h . Отсюда h = = = 5.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ перпендикулярен и. Поэтому вектор = ´ будет перпендикулярен основанию пирамиды; (6, 6, 7).

Угол между векторами (a ₁, a ₂, a ₃) и (b ₁, b ₂, b ₃) ищется по формуле

cosÐ(, ) = =.

Угол Ð BAC - это есть угол между векторами (1,–1, 0) и (0, 7,– 6). Поэтому

cosÐ BAC = = =.

Ð BAC = arccos = p - arccos

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

Мы уже знаем вектор нормали к плоскости основания: (6, 6, 7). Поэтому уравнение плоскости можно составить так же, как в следующей задаче. Но желательно продемонстрировать знание ещё одного способа составления уравнения плоскости. Плоскость, проходящая через точку A (x _o, y _o, z _o), параллельно двум данным векторам (a ₁, a ₂, a ₃), (b ₁, b ₂, b ₃) задаётся уравнением

x – x _o y – y _o z – z _o

a ₁ a ₂ a ₃ = 0.

b ₁ b ₂ b ₃

Подставляем в это уравнение координаты точки A и векторов,:

x - 4 y + 0 z – 1

1 -1 0 = 0.

0 7 -6

Раскрываем определитель по первой строке:

6(x - 4) + 6 y + 7(z – 1) = 0 Û 6 x + 6 y + 7 z – 31 = 0.

Желательно сделать проверку, подставив в это уравнение координаты точек A, B, C.

5. Прежде, чем решать эту задачу, следует повторить параграфы «Уравнение плоскости», «Уравнение прямой в пространстве».

A (9, 5, 1), B (–3, 8, 4), C (9,–13,–8).

Решение. Пусть π – это плоскость, которая проходит через точку A перпендикулярно стороне BC. Тогда этой плоскости принадлежит высота AD. Поэтому точку можно найти так: D = π I BC.

Для плоскости π вектор служит вектором нормали. Находим

(12,–21,–12). Координаты этого вектора нацело делятся на 3. Поэтому в качестве вектора нормали к p можем взять =, (4,–7,– 4). Уравнение плоскости π, проходящей через точку A _o(x _o, y _o, z _o) перпендикулярно вектору (a, b, c), имеет вид:

a (x – x _o) + b (y – y _o) + c (z – z _o) = 0.

В нашем случае:

4(x – 9) - 7(y – 5) - 4(z – 1) = 0,

4 x - 7 y - 4 z + 3 = 0.

Составим уравнение прямой BC. Для нее вектор будет направляющим:

x = –3 + 4 t,

BC: y = 8 – 7 t,

z = 4 – 4 t,

Поскольку D = π I BC, для нахождения координат точки D нужно решить совместно уравнения π и BC. Подставляем из уравнения BC в уравнение π:

4(–3 + 4 t ) – 7(8 – 7 t ) – 4(4 – 4 t ) + 3 = 0,

–12 + 16 t – 56 + 49 t – 16 + 16 t + 3 = 0,

81 t = 81, t = 1.

Подставляем это t в уравнение прямой BC и находим D (1, 1, 0). Далее вычисляем по формуле расстояния между точками:

h = = 9.

Далее, S_{Δ ABC} = |´ |; сначала находим сам вектор ´, а потом его модуль.

i j k i j k

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(– i + 4 j – 8 k) .

0 –18 –9 0 2 1

(В процессе вычисления мы воспользовались свойством определителя: общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя).

S _{Δ ABC} = · 27 =.

Имеем S_ΔABC = | |· h. Отсюда h =. Находим

| |= = 3 = 27.

Поэтому h = 9. Это совпадает с ранее найденным ответом.

5*. Точку D можно найти, как ближайшую к A точку прямой BC, используя методы дифференциального исчисления. Пусть M (t) – произвольная точка прямой BC; её координаты определяются системой (*):

M (–3 + 4 t, 8 – 7 t, 4 – 4 t).

Находим квадрат расстояние от точки A до M (t):

h ²(t) = (9 + 3 – 4 t)² + (5 – 8 + 7 t)² + (1 – 4 + 4 t)²

= (12 – 4 t)² + (–3 + 7 t)² + (–3 + 4 t)² =

= 144 – 96 t + 16 t ² + 9 – 42 t + 49 t ² + 9 – 24 t + 16 t ² =

= 81 t ² – 162 t + 162.

Найдем наименьшее значение функции h ²(t) с помощью производной:

h ²(t) = 162 t – 162; h ²(t) = 0 Þ t = 1.

Подставляем это значение t в уравнение прямой BC и находим, что D (1, 1, 0) является ближайшей к A точкой на прямой BC.