Примеры решения задачи.

Пример 1. 2 x ₁ - 3 x ₂ - x ₃ - 10 x ₄ – 5 x ₅ = 0,

x ₁ - x ₂ – 6 x ₄ - 3 x ₅ = 0,

3 x ₁ – 6 x ₂ - x ₃ - 14 x ₄ – 10 x ₅ = 0,

–2 x ₁ + x ₂ + 6 x ₃ + 7 x ₄ - 7 x ₅ = 0.

Можно совершать преобразования над самой системой уравнений, но для удобства мы составим матрицу этой системы.

2 -3 -1 -10 –5

1 -1 0 -6 -3

3 -6 -1 -14 -10.

-2 1 6 7 - 7

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на число, не равное нулю;

3) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число.

Элементы, выделенные жирным шрифтом, образуют диагональ. Наша цель – с помощью элементарных преобразований одних только строк матрицы занулить элементы, стоящие ниже диагонали; т.е. мы пытаемся привести матрицу к виду

* * * * *

0 * * * *

0 0 * * *.

0 0 0 * *

Если при этом у нас получается строка, состоящая полностью из нулей, мы её вычеркиваем (на практике, если получим две одинаковые или пропорциональные строки, то можно вычёркивать одну из них; если таких строк будет три – можем вычеркнуть две из них). При этом, может возникнуть и любая из двух следующих ситуаций.

* * * * * * * * * *

0 0 * * * 0 0 * * *

0 0 0 * * 0 0 0 0 *.

Главное – добиться, чтобы мы могли выделить в оставшейся матрице треугольный минор, на диагонали которого все числа не равны нулю. Такой минор составляют обведенные столбцы. Этот минор называется базисным. В каждом из случаев, мы можем вместо второго столбца взять первый. Во втором случае мы можем вместо третьего столбца взять четвёртый.

Первым действием мы пытаемся получить нули в первом столбце ниже диагонали. Для этого сначала мы выбираем строку, которую мы поставим на первое место. В ней первый элемент желательно должен быть равен ±1, но точно не ноль. Возможно, для этого потребуется разделить какую-либо строку на целое число. Мы поставим на первое место вторую строку. Затем мы к новой второй строке прибавляем первую, умноженную на –2, к третьей – первую, умноженную на -3, а к четвёртой – первую умноженную на 2. При этом, сама первая строка остаётся без изменений. Эти действия обозначаются следующим образом:

1 -1 0 -6 -3 1 -1 0 -6 -3

2 -3 -1 -10 – 5 0 -1 -1 2 1

3 -6 -1 -14 -10 0 -3 –1 4 –1

-2 1 6 7 -7 0 –1 6 –5 –13

Вторым действием мы пытаемся получить нули во втором столбце ниже диагонали. Наши действия уже показаны выше. Возможно, в вашей индивидуальной задаче предварительно надо будет переставить строки, или какая-либо строка делится на целое число.

1 -1 0 -6 -3 1 -1 0 -6 -3

0 -1 -1 2 1 ·(-1) 0 1 1 -2 –1

0 0 2 -2 -4:2 0 0 1 -1 –2

0 0 7 –7 –14:7 0 0 1 -1 –2

Мы разделили 3 строку на 2, а 4 строку – на 7. Получили две одинаковые строки. Одну из них можем вычеркнуть. Вторую строку можно умножить на -1.

Базисный минор обведён. Неизвестные, коэффициенты около которых входят в базисный минор, называются базисными, а все остальные - параметрическими. Мы вновь возвращаемся к системе линейных уравнений и составляем её по последней матрице. Базисные неизвестные, при этом остаются в левой части, а параметрические неизвестные переносим в левую часть. После этого параметрическим неизвестным придаём значения произвольных параметров (можно сразу писать вторую из следующих систем).

x ₁ - x ₂ = 6 x ₄ + 3 x ₅, x ₁ - x ₂ = 6a₁ + 3a₂,

x ₂ + x ₃ = 2 x ₄ + x ₅, x ₂ + x ₃ = 2a₁ + a₂,

x ₃ = x ₄ + 2 x ₅; x ₃ = a₁ + 2a₂,

x ₄ = a₁, x ₅ = a₂.

x ₅ = a₂; a₁, a₂Î R.

Подставляем значение x ₃ во второе уравнение и находим x ₂; подставляем значение x ₂ в первое уравнение и находим x ₁:

x ₁ = x ₂ + 6a₁ + 3a₂ = a₁ - a₂ + 6a₁ + 3a₂ = 7a₁ + 2a₂,

x ₂ = – x ₃ + 2a₁ + a₂ = – a₁ - 2a₂ +2a₁ + a₂ = a₁ - a₂,

x ₃ = a₁ + 2a₂,

x ₄ = a₁, x ₅ = a₂.

x ₅ = a₂; a₁, a₂Î R.

X = {7a₁ + 2a₂, a₁ - a₂, a₁ + 2a₂, a₁, a₂}, a₁, a₂Î R - общее решение системы.

Подставляя вместо a₁ и a₂ конкретные числа, мы будем получать частные решения. Подставляя в общее решение следующие частные значения параметров, получаем решения

a₁ = 1, a₂ = 0, X ₁ = {7, 1, 1, 1, 0},

a₁ = 0, a₂ = 1, X ₂ = {2,-1, 2, 0, 1}.

Тогда { X ₁, X ₂} – фундаментальная система решений (базис в пространстве решений). Произвольное частное решение системы можно представить в виде линейной комбинации решений, входящих в фундаментальную систему. Например, Y = 1· X ₁ - 2 X ₂ = {3, 3,-3, 1,-2} – частное решение. Следующая запись называется разложением общего решения по базису:

X = a₁ X ₁ + a₂ X ₂; a₁, a₂Î R.

Обязательно следует сделать проверку, подставив решения X ₁, X ₂ в исходную систему:

2·7 - 3·1 - 1 - 10·1 – 5·0 = 0, 2·2 - 3·(-1) - 2 - 10·0 – 5·1 = 0,

7 - 1 – 6·1 - 3·0 = 0, 2 - (-1) – 6·0 - 3·1 = 0,

3·7 – 6·1 - 1 - 14·1 – 10·0 = 0, 3·2 – 6·(-1) - 2 - 14·0 – 10·1 = 0,

–2·7 + 1 + 6·1 + 7·1 - 7·0 = 0; –2·2 -1 + 6·2 + 7·0 - 7·1 = 0.

Если проверка показывает, что хотя бы одно равенство не выполняется, то сдавать ваше решение не следует – следует искать ошибку.

Ответ:

X = {7a₁ + 2a₂, a₁ - a₂, a₁ + 2a₂, a₁, a₂}, a₁, a₂Î R - общее решение системы;

X ₁ = {7, 1, 1, 1, 0}, X ₂ = {2,-1, 2, 0, 1}; { X ₁, X ₂} – фундаментальная система решений;

X = a₁ X ₁ + a₂ X ₂; a₁, a₂Î R – разложение общего решения по базису.

Пример 2. 3 x ₁ + 2 x ₂ + 2 x ₃ + 2 x ₄ + 2 x ₅ = 0,

3 x ₁ + 2 x ₂ + 3 x ₃ + x ₄ - x ₅ = 0,

6 x ₁ + 4 x ₂ + 3 x ₃ + 5 x ₄ + 7 x ₅ = 0,

6 x ₁ + 4 x ₂ + 5 x ₃ + 3 x ₄ + x ₅ = 0.

3 2 2 2 2 3 2 2 2 2

3 2 3 1 -1 0 0 1 -1 -3

6 4 3 5 7 0 0 -1 1 3

6 4 5 3 1 0 0 1 –1 -3

2 x ₂ + 2 x ₃ = 3 x ₁ - 2 x ₄ - 2 x ₅, 2 x ₂ + 2 x ₃ = -3 a - 2 b - 2 c,

x ₃ = x ₄ + 3 x ₅, x ₃ = b + 3 c,

x ₁ = a, x ₄ = b,

x ₅ = c; a, b, c Î R.

Отдельно находим

x ₂ = (-3 a - 2 b - 2 c - 2 x ₃) = (-3 a - 2 b - 2 c - 2 b - 6 c) = (-3 a - 4 b - 8 c).

X = { a;1,5 a - 2 b - 4 c; b + 3 c; b; c }, a, b, c Î R – общее решение.

a = 1, b = 0, c = 0, X ₁ = {1; -1,5;0; 0; 0},

a = 0, b = 1, c = 0, X ₂ = {0;-2;1; 1; 0},

a = 0, b = 0, c = 1, X ₃= {0;-4;3; 0; 1},

{ X _1, X ₂, X ₃} - фунд. сист. решений (базис в пространстве решений),

X = aX ₁ + bX ₂ + cX ₃ - разложение общего решения по базису.

Проверка:(нули мы не писали)

3·1 + 2·(-1,5) = 0, 2·(-2) + 2·1 + 2·1 = 0, 2·(-4) + 2·3 + 2·1 = 0,

3·1 + 2·(-1,5) = 0, 2·(-2) + 3·1 + 1 = 0, 2·(-4) + 3·3 - 1 = 0,

6·1 + 4·(-1,5) = 0, 4·(-2) + 3·1 + 5·1 = 0, 4·(-4) + 3·3 + 7·1 = 0,

6·1 + 4·(-1,5) = 0. 4·(-2) + 5·1 + 3·1 = 0. 4·(-4) + 5·3 + 1 = 0.