Графические формы представления математических моделей

В инженерной практике часто используют графические формы представления математических моделей. Для использования графических форм должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической модели и компонентов инвариантной математической модели.

Одной из форм отображения физических свойств технического объекта является динамическая модель. Графические изображения элементов динамической модели отождествляются с их компонентными уравнениями, а соединения элементов соответствуют топологическим уравнениям. Следовательно, динамическую модель можно рассматривать в качестве математической модели технического объекта в графической форме.

Структурирование динамической модели и идентификация ее элементов позволяют формализовать процесс составления математической модели технического объекта в инвариантной форме. Для этого удобно использовать графические формы моделей в виде графов и эквивалентных схем.

Граф представляет структурную математическую модель системы и отображает ее топологию, а эквивалентная схема — функциональную модель и отображает топологию и компонентный состав, так же как и динамическая модель. Если ввести обозначения ветвей графа, то он будет содержать ту же информацию, что и эквивалентная схема.

Компонентные уравнения элементов динамической модели представляют собой компоненты полной математической модели объекта. Уравнения инерционных, упругих и диссипативных элементов технических объектов различной физической природы приведены в табл. 3.1. Трансформаторные и фрикционные элементы отображают специфические особенности внутренних свойств системы и ее взаимодействия с внешней средой. Их математическое описание будет рассмотрено в главе 5.

Характеристики процессов функционирования объекта определяются не только его внутренними физическими свойствами, но и внешними воздействиями. Математические описания этих воздействий также являются компонентами математической модели. Воздействия представляют собой источники потенциалов и источники потоков . При построении полной математической модели в инвариантной форме все компонентные уравнения посредством топологических уравнений сводят в единую систему. Это наиболее удобно осуществлять с помощью графов.

Граф представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их ветвей (ребер). Такое же определение имеет и эквивалентная схема. Определение графа может быть записано в следующем виде: Г = (У, В, И), где У — множество узлов; В — множество ветвей; И — инцидентор — указатель способа соединения ветвей.

Ветви графа и эквивалентной схемы соответствуют компонентам математической модели. Они отображают математические описания инерционых, упругих и диссипативных элементов динамической модели и источников внешних воздействий.

Узлы, графа и эквивалентной схемы соответствуют узлам дискретизации непрерывных объектов в геометрическом пространстве, вводимым при переходе от моделей микроуровня к моделям макроуровня. При дискретизации системы методом сосредоточенных масс узлы дискретизации совпадают с сосредоточенными массами, представляемыми в динамической модели материальными точками или твердыми телами. Состояние технической системы и характер протекающих в ней процессов определяются фазовыми координатами узлов дискретизации. Эти координаты представляют собой потоковые переменные (например, в механической системе — скорости или геометрические координаты).

Сосредоточенные массы динамической модели обладают дуальными свойствами: они отображают инерционные свойства технической системы и одновременно являются носителями информации о ее состоянии. Последнее выражается в том, что систему фазовых координат динамической модели связывают непосредственно с сосредоточенными массами.

Граф и эквивалентная схема позволяют эти свойства сосредоточенных масс дифференцировать более четко: инерционные свойства отображаются ветвями, а носители информации о состоянии технической системы — узлами. В результате каждая сосредоточенная масса отображается узлом графа или эквивалентной схемы, а ее физические свойства — ветвью инерционного элемента.

Узлы графа обозначают точками, а ветви линиями (рис. 4.1). Узлам присваивают номера сосредоточенных

Рис. 4.1. Пример графа механической системы

масс, а ветвям дают обозначения параметров отождествляемых ими элементов динамической модели или обозначения источников внешних воздействий (источник потенциалов U_B или источник потоков /_в). Один из узлов графа и эквивалентной схемы отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Его называют базовым узлом (или базой) и ему присваивается нулевой номер.

Для обозначения различных ветвей эквивалентной схемы рекомендуется применять графические изображения, показанные на рис. 4.2. Ветви эквивалентной схемы и графа, отображающие внутренние свойства технического объекта, можно именовать так же, как и соответствующие им элементы динамической модели, т.е. инерционные, упругие и диссипативные. Поскольку эти ветви суть компоненты математической модели в графической форме, то и компоненты имеют те же наименования, что и ветви.

На эквивалентных схемах и графах применяют обозначения параметров элементов и источников внешних воздействий соответственно виду моделируемой технической системы (см. табл. 3.2 и 3.3). На рис. 4.2 использованы обозначения для механической поступательной системы.

Рассмотрим особенности построения эквивалентной схемы и графа на примере механической вращательной системы, динамическая модель которой приведена на рис. 4.3, а. Модель отображает инерционные, упругие и диссипативные элементы системы и внешние воздействия на нее. Элементы динамической модели обозначаются на схеме их параметрами с цифровыми индексами, соответствующими порядковым номерам элементов: J_t — моменты инерции вращающихся твердых тел (сосредоточенных масс); Cj, — коэффициенты же- сткостей и сопротивлений соответственно упругих и диссипативных элементов. На динамической модели необходимо также отобразить внешние воздействия на технический объект. Источники потенциалов воздействуют непосредственно на сосредоточен

ные массы, а источники потоков со — на упругие и диссипативные элементы. Рассматриваемый объект подвержен воздействиям только источников потенциалов .

Рис. 4.2. Обозначение ветвей эквивалентной схемы: а — инерционной; б — диссипативной; в — упругой; г — источника потенциала; д — источника потока

Рис. 4.3. Динамическая модель (а), эквивалентная схема (б) и орграф (в) механической вращательной системы

Источники воздействий могут сообщать энергию объекту или отводить ее от объекта. Для отображения этого на динамиче­ской модели должны быть указаны положительные направления фазовых координат типа потока (или ), характеризующих состояния сосредоточенных масс, а также направления потоков энергии, сообщаемой объекту источниками внешних воздействий и . Если энергия источника потенциала подводится к объекту, то направления и совпадают, а если отводится (т.е. вместо источника имеет место сток), то их направления про­тивоположны. В рассматриваемом примере вращающий момент является движущим, увеличивающим энергию объекта (к объекту подводится энергия двигателя), поэтому направления и совпадают. Вращающие моменты и характеризуют сопротивления внешней среды движению объекта, на преодоление которых затрачивается его энергия. В этой связи направления , а также и не совпадают.

Потенциалы упругих и диссипативных элементов, характеризующие их взаимодействие с другими элементами сис­темы, являются внутренними воздействиями и на динамической модели не изображаются.

Следует обратить внимание на то, что функции источников внешних воздействий типа потока и типа потенциала обозначаются такими же символами, как и фазовые координаты типа потока ; и типа потенциала , моделируемого тех­нического объекта. Чтобы их различать в динамических моделях, в обозначениях внешних воздействий вводится индекс «в».

Если один и тот же упругий элемент соединяет между собой более двух сосредоточенных масс, т.е. образует кольцевое соеди­нение (например, элемент с₂ на рис. 4.3, а), то такое соединение называется дифференциальным, а если кольцевое соединение со­средоточенных масс осуществляется различными упругими эле­ментами, то его называют гираторным. Это же относится и к диссипативным элементам.

В случае дифференциального соединения следует иметь в ви­ду, что все сосредоточенные массы, входящие в соединение, взаи­модействуют с одним и тем же упругим и диссипативным элемен­тами, что и отражено на схеме рис. 4.3, а.

При моделировании сложных технических объектов графи­ческие изображения диссипативных элементов на динамических моделях могут значительно усложнить чертеж (схему). Но если диссипативные элементы расположены в модели параллельно уп­ругим элементам (что характерно для большинства механических систем), тогда их графические изображения можно исключить, а вместо них наличие диссипативных элементов отметить записью параметров рядом с параметрами упругих элементов (при этом обозначения и должны разделяться между собой запя­той). Это допущение будет использоваться в дальнейшем в дина­мических моделях вращательных механических систем (напри­мер, на рис. 4.6).

Построение эквивалентной схемы (рис. 4.3, б) начинают с инерционных ветвей, которые располагают вертикально. Эти вет­ви соединяют узлы, отождествляющие сосредоточенные массы системы, с базовым узлом, соответствующим инерциальной сис­теме отсчета фазовых координат типа потока. Ветви упругих и диссипативных компонентов соединяют между собой взаимодей­ствующие узлы, в соответствии с динамической моделью. Ветви источников потенциалов связывают узлы, к которым они прило­жены, с базой.

Граф является аналогом эквивалентной схемы и структура его аналогична (рис. 4.3, в). Если обозначить направления сигна­лов в ветвях графа, то получим ориентированный граф (орграф). Направления сигналов в ветвях графа изображают стрелками.

В ветвях источников внешних воздействий сигналы направ­ляют от базы к узлу, если энергия подводится к узлу и источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла. В случае источника потенциала подвод энергии осуществляется при усло­вии совпадения направлений и . При отводе энергии на преодоление сопротивлений направления и , противополож­ны, поэтому направление сигнала в ветви источника — от узла к базе. Направление сигнала в ветви источника потока определяет­ся аналогично, в зависимости от того, подводится энергия к тех­ническому объекту от внешней среды или отводится.

Во всех ветвях инерционных компонентов направления сиг­налов от узлов к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии инерци­онных элементов. В любых других ветвях, соединяющих узлы с базой, кроме ветвей источников, сигналы всегда направлены к базе.

В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направ­ление передачи энергии от источников к потребителям. Если вет­ви диссипативных компонентов параллельны ветвям упругих компонентов, то направления сигналов в них одинаковые.

Однако встречаются случаи, когда нельзя однозначно ука­зать направление передачи энергии в некоторых ветвях графа. Это характерно для систем с дифференциальным соединением со­средоточенных масс. В рассматриваемом примере сосредоточенные массы с моментами инерции J₂, J₃ и J₄ соединены упругим эле­ментом с коэффициентом жесткости и диссипативным элемен­том с коэффициентом сопротивления . В результате на эквива­лентной схеме узлы 2, 3 и 4 связаны между собой одними и теми же упругими и диссипативными ветвями и . Энергия переда­ется от узла 2 к узлам 3 и 4, но направление передачи энергии между узлами 3 и 4 априори установить нельзя.

Орграф, в отличие от эквивалентной схемы, содержит только ориентированные ветви. В этой связи упругая и диссипа-тивная ветви и эквивалентной схемы, соединяющие узлы 3 и 4, на орграфе отсутствуют. Вместе с тем следует отметить, что отображать соединение этих узлов на орграфе нет необходимости. Орграф вполне определенно иллюстрирует взаимодействие всех трех узлов и отражает распределение энергии между узлами 3 и 4, передаваемой к ним через упругий и диссипативный элементы и от узла 2.

При гираторном соединении (рис. 4.4, а) каждая пара со­средоточенных масс соединена своими упругими и диссипативны- ми элементами, поэтому все они должны быть отображены на орграфе соответствующими ветвями с указанием направлений в них сигналов (рис. 4.4, в). Здесь также определить направление сигнала в одной из ветвей может оказаться затруднительным. В этом случае принимают произвольное направление.

Рис. 4.4. Динамическая модель (а), эквивалентная схема (б) и орграф (в) технического объекта с гираторным соединением сосредоточенных масс

Пример 4.1. Составить графические формы математических моделей для анализа колебаний кузова автомобиля, обусловленных неровностями дороги.

На рис. 4.5, а приведена одна из возможных динамических моделей (см. также рис. 3.1, в). Твердые тела массами и (кузов и колеса автомобиля) совершают поступательные движения. Фазовые переменные типа потока в меха­нической поступательной системе - скорости , а типа потенциала - силы F. На систему наряду с источниками потенциалов и действует источник потока, описываемый функцией . Источник потока отображает кинематическое воздействие внешней среды - неровностей дороги. Характеристикой этого источ­ника является функция изменения скорости вертикального перемещения опорной точки D, определяемая выражением , где - скорость движения автомобиля вдоль оси у: h(y) — функция микропрофиля поверхности дороги. Потенциалы внешних воздействий и представляют собой силы тяжести соответственно кузова и колес автомобиля. Эти силы постоянны и их обычно не включают в модель при анализе малых колебаний. Однако при опреде­лении усилий в упругих элементах их необходимо учитывать. Кроме того, взаим­ные перемещения кузова и колес автомобиля ограничены направляющими уст­ройствами подвески, а величины допускаемых перемещений зависят от значений усилий и .

При наличии источников потоков взаимодействие технического объекта с внешней средой осуществляется посредством упругих и (или) диссипативных элементов. В эквивалентной схеме и орграфе это приводит к возникновению до­полнительных узлов, определяющих соединения ветвей упругих и диссипативных компонентов с ветвями источников потоков.

На рис. 4.5, б построена эквивалентная схема, а на рис. 4.5, в орграф рас­сматриваемой системы. Узлы 1 и 2 отображают сосредоточенные массы, а узел

1* - внешнюю среду, генерирующую воздействие типа потока , передавае­мое на упругий и диссипативный элементы и колес автомобиля. Узлы ис­точников потоков имеют свою нумерацию и обозначаются звездочкой.

Рис. 4.5. Динамическая модель (а), эквивалентная схема (б) и орграф (в) механической поступательной системы с источником внешнего воздействия типа потока

Таким образом, орграф позволяет идентифицировать структуру и физические свойства моделируемой технической системы и представляет собой ее математическую модель в графической форме. Использование орграфа дает возможность формализовать процесс составления полной математической мо­дели объекта в инвариантной форме, т.е. получить систему обык­новенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс функционирования технического объекта.

Эквивалентную схему применяют обычно лишь при пред­метном моделировании, когда необходимо иметь схему замещения для построения эквивалентной динамической модели на элемен­тах иной физической природы. При математическом моделиро­вании технических систем ограничиваются использованием орграфов.