Компонентные и топологические уравнения

Физические свойства технического объекта в динамической модели макроуровня отображаются совокупностью взаимодейст­вующих дискретных элементов. В зависимости от способа по­строения динамической модели каждый элемент может наделять­ся одним или несколькими физическими свойствами. При дискретизации методом функционально законченных элементов или сеточными методами элементы обычно обладают несколькими физическими свойствами и являются сложными. В методе сосре­доточенных масс все элементы простые, так как, каждый из них наделен только одним физическим свойством.

В данной главе рассматриваются только простые дискретные элементы.

Состояние простого элемента характеризуется одной фазовой переменной типа потока и одной переменной типа по­тенциала. Физическое свойство элемента описывается математи­ческой моделью, выражающей зависимость между этими фазовы­ми переменными. Это выражение называют компонентным уравнением.

Основные физические свойства технических объектов любой физической природы — инерционные, упругие и диссипативные. Они отображаются в динамических моделях соответственно инер­ционными, упругими и диссипативными элементами. Фрикцион­ные и трансформаторные элементы отображают специфические свойства, характерные не для всех технических объектов. Мате­матическое описание этих свойств может быть различным, в за­висимости от физической природы технического объекта.

Компонентные уравнения дискретных элементов могут быть получены аппроксимацией моделей микроуровня или непосредст­венным использованием физических законов.

Аппроксимация моделей микроуровня осуществляется пу­тем замены всех частных производных фазовых переменных по пространственным координатам отношениями конечных разно­стей. Например, производную заменяют выражением

где — значения фазовой переменной на границах дис­кретного элемента (в узлах 1 и 2 дискретизации сплошной среды); — длина дискретного элемента вдоль оси х.

Значения параметров элементов, выделяемых из сплошной среды с распределенными параметрами, усредняют.

Для математического описания физических свойств элемен­тов могут быть также использованы физические законы. Компо­нентные уравнения, полученные на основе физических законов, имеют следующий вид:

для инерционного элемента

(3.1) (3.1)

для диссипативного элемента

(3.2) (3.2)

для упругого элемента

(3.3) (3.3)

В уравнениях (3.1) — (3.3) приняты следующие обозначе­ния: — параметры инерционного, диссипативного и упру­гого элементов соответственно; — фазовая переменная типа по­тока; — фазовая переменная типа потенциала. Индексы при фазовых переменных I и указывают на принадлежность их со­ответствующим элементам.

Для получения полной математической модели технической системы необходимо объединить все компонентные уравнения элементов в общую систему уравнений. Объединение осуществля­ется на основе физических законов, выражающих условия равно­весия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения этих за­конов называют топологическими уравнениями. Они описывают характер взаимодействия между простыми элементами, устанав­ливая соотношения между однотипными фазовыми переменными.

Условия равновесия записываются для фазовых перемен­ных типа потенциала

(3.4)

а условия непрерывности — для фазовых переменных типа потока

(3.5)

Форма компонентных и топологических уравнений одина­кова для систем различной физической природы.

Если фазовые переменные — векторные величины, то на­правления векторов учитываются только топологическими урав­нениями, а в компонентных уравнениях их направления не учи­тываются. Компонентные уравнения (3.1) — (3.3) в этом случае устанавливают соотношения лишь между модулями фазовых пе- ременных. Это позволяет обеспечить корректное описание взаи­модействия элементов системы в полной математической модели.

Топологическое уравнение для векторных переменных фор­мируются как равенство нулю геометрической суммы соответст­вующих фазовых координат, а для скалярных — равенство нулю алгебраической суммы этих координат.

Полная математическая модель технического объекта на макроуровне, составленная на основе компонентных уравнений, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомыми функциями в этих уравнениях являются базисные фазовые координаты I и , а независимой переменной— время . Размерность математической модели определяется общим порядком системы дифференциальных уравнений (или числом ба­зисных координат). Эту модель обычно представляют в нормаль­ной форме Коши, в которой все уравнения разрешены относи­тельно первых производных фазовых координат и .

Координатный базис в этом случае составляют фазовые перемен­ные типа потока и типа потенциала .

Состояние сосредоточенных масс определяется фазовыми координатами типа потока. Количество таких координат соответ­ствует числу степеней свободы динамической модели объекта.