Модели гидравлических систем на микроуровне

В технических системах широкое применение находят гидравлические и пневматические приводы. При большой длине гидравлических или пневматических магистралей в них возникают волновые процессы, исследование которых возможно на основе непрерывных моделей, использующих дифференциальные уравнения в частных производных.

Основные физические свойства жидкостей и газов — текучесть, сжимаемость и непрерывность потока. Текучесть оценивается вязкостью, сжимаемость — модулем объемной упругости.

Все применяемые на практике жидкости и газы представляют собой обычные ньютоновские вязкие среды. В такой среде при взаимных перемещениях ее элементов возникают силы внутреннего трения. Напряжения трения в ньютоновской жидкости пропорциональны относительным скоростям, или скоростям сдвига.

Жидкости обычно имеют сравнительно большую вязкость и слабую сжимаемость. Газы, наоборот, отличаются малой вязкостью и высокой сжимаемостью. Тем не менее математическое описание физических свойств жидкостей и газов на микроуровне можно выполнить на основе одних и тех же законов. Поэтому в дальнейшем будем говорить о жидкостной сплошной среде.

Движение жидкости в трубопроводе обычно рассматривают как одномерный сплошной поток. При этом положение поперечного сечения потока относительно начала отсчета геометрической координаты, выбираемого на левой граничной поверхности трубопровода, определяется одной координатой х. Значение х не зависит от кривизны осевой линии трубопровода, а равно ее длине от начала отсчета до рассматриваемого сечения.

Для описания движения жидкости используют закон сохранения массы и закон сохранения количества движения.

Закон сохранения массы выражает свойство непрерывности потока жидкости в трубопроводе и записывается в виде

(2.37)

Уравнение Навье — Стокса в одномерном случае, выражающее закон сохранения количества движения элементарной массы, согласно (2.12), имеет вид

(2.38)

При анализе движения жидкости в трубопроводе обычно массовыми силами пренебрегают. Тогда

(2.39)

Находит применение также приближенная форма уравнения Навье — Стокса

(2.40)

где — коэффициент линеаризованного вязкого трения в трубопроводе.

Иногда при исследованиях пренебрегают вязкостью жидкости. Принимая в выражении (2.39), получаем уравнение Эйлера для одномерного потока в трубопроводе постоянного сечения

(2.41)

Уравнение Эйлера учитывает лишь инерционные свойства потока, а уравнение Навье—Стокса — инерционные и диссипативные (рассеивание энергии) свойства.

Уравнения (2.37) и (2.39) сведем в единую систему

(2.42)

Уравнения (2.42) представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с тремя неизвестными функциями: скорости v, давления р и плотности .

Чтобы сделать систему определенной, необходимо в нее добавить уравнение связи между р и .

Будем предполагать, что поток жидкости изолирован от притока тепла извне. Такой процесс движения жидкости называют адиабатическим. Характерная его особенность — постоянство энтропии [15]. Следовательно, адиабатический процесс является изоэнтропическим.

Для газа в рассматриваемом случае плотность можно выразить через давление на основании уравнения состояния

, (2.43)

где R — газовая постоянная; Т — температура; — показатель адиабаты: ; С_р и — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно — энтальпия.

В пневматических приводах большинства технических объектов в качестве рабочего тела используют воздух. Параметры воздуха при Т = 273,15 К и

р₀ = 1 Па: = 1,293 кг/м³;

С_р =1,006-Ю³ Дж/(кг-К);

=0,718-10³ Дж/(кг-К);

Показатель адиабаты = 1,405.

Следует также учитывать зависимость динамической вязкости от температуры. Обычно используют степенную зависимость вида

(2.44)

Показатель степени п для воздуха при температуре 90...300 К равен (-0,889), а при температуре 300...400 К п = - 0,75,

В гидроприводах эта же формула годится и для рабочих жидкостей. В температурном интервале 303 < Т < 423 К принимают

п < 2,77,

Зависимость плотности от давления для жидкостей представляется следующим обобщенным уравнением изоэнтропы:

(2.45)

При проектировании машиностроительных гидроприводов часто принимают линейную аппроксимацию зависимости изменения давления от относительного изменения объема жидкости при ее сжатии. Эта зависимость устанавливается законом Гука и в одномерном случае имеет вид

(2.46)

где Е — модуль объемной упругости жидкости, который при адиабатическом процессе определяется выражением ; V — объем жидкости.

Учитывая слабую сжимаемость рабочих жидкостей гидроприводов, полагают и для анализа полей скоростей и давлений в трубопроводе используют систему дифференциальных уравнений

(2.47)

Значение модуля объемной упругости зависит от типа жидкости, давления, температуры, скорости деформации и характера термодинамического процесса. Наибольшее влияние на него оказывает давление, поэтому для минеральных масел обычно используют линеаризованную зависимость

Е_а=Е_ао+А_аР. (2.48)

Коэффициент пропорциональности А_а зависит от типа жидкости и ее температуры. Так, для жидкости АМГ-10 при Т = 293 К Е_ао = 1,68-10³МПа; А_а= 12,75.

Реальная жидкость в гидроприводах обычно представляет собой двухфазную газожидкостную смесь. Воздух в этой смеси может находиться в растворенном и нерастворенном состоянии. Растворенный воздух практически не влияет на свойства рабочих жидкостей. Нерастворенный воздух содержится в жидкости в виде пузырьков. Вследствие значительно большей сжимаемости воздуха по сравнению со сжимаемостью жидкости модуль объемной упругости газожидкостной двухфазной смеси уменьшается, причем это уменьшение является существенным при малых давлениях.

Для определения модуля объемной упругости газожидкостной смеси Е_с используется приближенное выражение

, (2.49)

где — относительный объем газовой фазы в смеси; k— показатель адиабаты сжатия воздуха; — давление, при котором определен модуль объемной упругости (обычно принимают избыточное давление ро =0).

Для минеральных масел, используемых в машиностроительных гидроприводах, параметры находятся в следующих пределах: Е_п() = (1,35... 1,92) 10³ МПа; А_а=12...13; е_в = 0,005...0,06; А= 1,4.

Распределенные модели используются при анализе высокочастотных колебаний в системах гидравлических и пневматических приводов. Для решения систем уравнений (2.42) и (2.47) необходимо задать краевые условия. Обычно принимают граничные условия первого рода и задают функции давлений и скоростей на левой и правой границах участка трубопровода:

(2.50),

где L — длина участка трубопровода.

Начальными условиями являются значения этих же функций в начальный момент времени всех контролируемых точках трубопровода. Если функции (2.50) не зависят от времени, процесс движения жидкости в трубопроводе будет стационарным. Его характеристики зависят только от граничных условий. Начальные условия задаются для исследования нестационарных (переходных) процессов, обусловленных переменными внешними воздействиями, определяемыми функциями (2.50).