Модели тепловых систем на микроуровне

Процесс переноса тепловой энергии (теплоты) в пространстве с неоднородным полем температуры называется теплообменом. Теплообмен может осуществляться теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Температурным полем называется совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени. Температурное поле скалярное, так как температура — скалярная величина. Если температура Т является функцией только пространственных координат Т(х,у,z), то процесс теплообмена стационарный и температурное поле стационарное. Если температура изменяется во времени, то процесс теплообмена и температурное поле нестационарные.

Соединив точки теплотехнического объекта, имеющие одинаковую температуру, получим поверхность равных температур, называемую изотермической.

При проектировании теплотехнических объектов на микро-уровне используют уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры во времени и пространстве со свойствами среды. Это уравнение позволяет выполнять анализ температурных полей в твердых телах — деталях машин.

Уравнение теплопроводности может быть получено на основе закона сохранения энергии. Применительно к тепловой системе закон сохранения энергии можно сформулировать так: изменение во времени количества тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме в единицу времени внутренними источниками (или поглощения энергии стоками).

По аналогии с уравнением (2.8) можно записать

, (2.13)

где — количество тепловой энергии в единице объема, Дж/м³; — вектор плотности теплового потока, Дж/(м²-с); — количество тепловой энергии, выделяемое в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме, Дж/(м³-с).

Выделение (или поглощение) тепловой энергии внутри тела может происходить из-за объемных химических реакций, прохождения электрического тока, фазовых превращений материала при изменении температуры и т.п. Величина характеризует мощность внутренних источников теплоты (или стоков).

Изменение количества тепловой энергии в единице объема пропорционально изменению температуры :

, (2.14)

где С — удельная теплоемкость материала теплотехнического объекта, Дж/(кг-К); — плотность материала.

Плотностъ теплового потока в соответствии с законом Фуръе пропорциональна градиенту температуры:

, (2.15)

где — коэффициент теплопроводности материала теплотехнического объекта, Дж/(с-м-К); — градиент температуры.

С учетом выражений (2.14) и (2.15) уравнение (2.13) приводится к виду

. (2.16)

Для однородного изотропного тела . Тогда

, (2.17),

где а_т = Ъ/(Ср) — коэффициент температуропроводности, м²/с.

Выражение дивергенции градиента температуры можно записать в виде

Т= У²Г = д²Т/дх² + д²Т/ду² + д²Т/дг², (2.18)

где V — оператор Лапласа.

Для одномерного случая, когда теплопередача осуществляется только вдоль оси х, получаем

дТ/д1 = а_т д²Т/дх² +С_д/Ср. (2.19)

Для решения уравнений (2.16), (2.17), (2.19) должна быть задана функция и краевые условия — начальные и граничные. Кроме того, необходимо описание геометрии теплотехнического объекта (его формы и размеров), а также физических свойств объекта и среды (значений параметров ).

Для многих теплотехнических объектов можно принимать . К ним, в частности, относятся объекты, представляющие собой твердые тела: стенки теплообменников и корпусных деталей машин, диски и барабаны фрикционных муфт и тормозов и др. В этом случае уравнение теплопередачи для объекта, выполненного из материала, обладающего изотропными теплофизическими свойствами,

. (2.20)

Для одномерного случая

. (2.21)

При описании граничных условий в зависимости от наличия информации о теплообмене на граничной поверхности принимают различные допущения. В простейшем случае задают граничные условия первого рода. При этом задается распределение температуры на граничной поверхности объекта 5 как функция координат и времени

(2.22)

Граничные условия второго рода описывают распределение производных температуры по пространственным координатам на поверхности 5

, (2.23)

где — модуль вектора градиента температуры.

Учитывая формулу (2.15), можно отметить, что граничные условия второго рода характеризуют распределение плотности теплового потока на граничной поверхности 5.

При отсутствии теплового потока на поверхности объекта теплообмен с внешней средой не осуществляется. В этом случае говорят, что граничная поверхность объекта теплоизолирована. Граничные условия теплоизолированного объекта

. (2.24)

При проектировании технических объектов часто встречается случай, когда часть граничной поверхности теплоизолирована, а на остальной части осуществляется теплообмен с внешней средой.

Граничные условия третьего рода позволяют конкретизировать характеристики теплообмена с внешней средой. При этом задается распределение плотности теплового потока на граничной поверхности. Функция плотности теплового потока зависит от способа теплообмена. Для технических объектов наиболее характерны три способа: конвективный теплообмен твердого тела с окружающей газовой или жидкостной средой, генерирование на граничных поверхностях тепловых потоков в процессе трения контактирующих поверхностей и тепловое излучение.

При конвективном теплообмене плотность теплового потока на граничной поверхности пропорциональна разности температуры окружающей среды Т_с и температуры граничной поверхности

, (2.25)

Где — коэффициент теплообмена (теплопередачи) через конвекцию, Дж/(с-м²-К).

Уравнение (2.25) выражает закон Ньютона. Принимая во внимание, что, согласно выражению (2.15), модуль вектора плотности теплового потока , можно записать следующее уравнение баланса тепловых потоков:

. (2.26)

Выражение (2.26) представляет собой уравнение граничного условия третьего рода при конвективном теплообмене.

Отметим, что выражения граничных условий первого и второго рода являются частными случаями уравнения (2.26). Так, при и ; или при и получаем

в результате и приходим к граничным условиям первого рода.

Если положить , получим частный случай граничных условий второго рода — при теплоизолированной граничной поверхности.

При генерировании теплового потока на граничной поверхности, что характерно для фрикционных механизмов, подшипников скольжения и т.п., уравнение граничного условия третьего рода имеет вид

. (2.27)

При лучистом теплообмене между твердым телом и внешней средой плотность теплового потока определяется по закону Стефана—Больцмана

, (2.28)

где — степень черноты поверхности, характеризующая ее излучательную (или поглощающую) способность; — постоянная Стефана—Больцмана.

На основе выражений (2.22) — (2.28) можно получить уравнения граничных условий для одномерного теплотехнического объекта.

Уравнения граничных условий первого рода

(2.29),

где — температура на левой границе; — температура на правой границе; — длина объекта вдоль оси х.

Уравнения граничных условий второго рода

(2.30)

Если какая-либо из границ (правая или левая) теплоизолирована, то для этой границы.

Граничные условия третьего рода при конвективном теплообмене

(2.31)

при генерировании теплового потока на граничных поверхностях

(2.32)

при теплообмене излучением .

(2.33)

где и — температура окружающей среды соответственнот на левой и правой границах; и — степень черноты левой и правой граничных поверхностей.

Отметим, что на левой и правой граничных поверхностях могут быть различные виды теплообмена.

Многие теплотехнические объекты выполняют многослойными. Обычно один из слоев обеспечивает несущую способность, а другие выполняют роль теплоизолирующих или фрикционных элементов. В многослойном объекте наряду с теплопроводностью имеет место теплообмен соприкасающихся твердых тел. Математическая модель объекта должна включать описание условий этого теплообмена. При анализе температурных полей все части объекта необходимо рассматривать совместно. Для каждой части. (слоя) записывают свое уравнение теплопроводности, а краевыми условиями будут условия сопряжения, выражающие равенство температур и равенство плотностей тепловых потоков на поверхностях соприкасающихся частей:

(2.35)

Уравнения (2.34) и (2.35) описывают граничные условия четвертого рода.

Кроме рассмотренных встречаются и другие виды граничных условий. Например, на поверхностях соприкосновения возможны фазовые превращения вещества, требующие учета затрат тепловой энергии.

Если внешние воздействия на объект, характеризуемые функциями краевых условий, непостоянны, процесс теплопередачи будет нестационарным. Для получения однозначного решения уравнений математической модели в этом случае надо кроме краевых условий задать и начальные условия. При этом задается распределение температуры по всей области определения объекта в начальный момент времени при :

(2.36)

Совокупность уравнений теплопроводности и граничных условий составляет математическую модель теплового объекта на микроуровне. Результатом решения этих уравнений является температурное поле объекта, на основании которого можно судить о его работоспособности. Ограничение работоспособности наступает при достижении предельных значений температуры и напряжений, допускаемых для материала, из которого изготовлен объект. Напряжения в тепловом объекте определяются суммой напряжений от механической нагрузки и термических напряжений, обусловленных градиентом температуры. Температурное поле позволяет определить термические напряжения.