Алгоритмы обнаружения выхода параметра за пределы

Обнаружение выхода контролируемого параметра за допустимые пределы. В общем случае таких пределов два верхний и нижний. Выход контролируемого параметра за эти пределы является событием. При этом автоматическая система должна обнаружить это событие, подать тревожный сигнал, зафиксировать наименование и значение параметра, а также время выхода его за допустимые пределы. Если контролируемый параметр вошел в разрешенную зону, необходимо зафиксировать время входа. Схема алгоритма работы системы обнаружения, реализующего эти задачи для случая, когда погрешностями измерения значений контролируемого параметра можно пренебречь, достаточно проста и ее предлагается выполнить самостоятельно.

Если погрешностями измерения контролируемого параметра пренебречь нельзя, необходимо решать задачу обнаружения события по искаженным данным. Эта задача решается методами теории статистических решении. Пусть требуется решать задачу двухальтернативного обнаружения. Все пространство возможных значений контролируемого параметра х может быть разделено на область допустимых (область 1) и область недопустимых (область II) значении (рис. 4. 2. 1. 1.). При определении принадлежности х к областям 1 или II вследствие искажений возможны ошибки двух типов. Ошибки 1 рода характеризуются тем, что значение контролируемого параметра х, принадлежащее области 1, системой (алгоритмом) обнаружения относится к области II. Ошибки II рода — это ошибки отнесения х к области I, в то время когда он принадлежит к области II. Будем считать, что искажения х обусловлены только случайными погрешностями, ибо систематические погрешности могут быть предварительно скорректированы. Пусть условная плотность вероятности распределения значений х в случае принадлежности переменной к области 1 или II задана соответственно функциями и (рис. 4. 2. 1. 1.). Обозначим через точку на прямой х, для которой можно написать: 1) если , то ; 2) если , то .

Рис. 4. 5. 1. Схема распределения условных плотностей вероятности нахождения х в областях I и П.

Тогда вероятности возникновения ошибок 1 и II рода будут равны соответственно

; .

Вероятность называется также вероятностью ложной тревоги и обозначается через , а — вероятностью пропуска события (цели) и обозначается через .

Пусть также известны априорные вероятности принадлежности х к областям I и II, т. е. известны соответственно Р(I) и Р(П) = 1 - Р(I).

Если обнаружение события ведется с ошибками, то возможны значительные материальные потери. Обозначим: — стоимость потерь из-за ложной тревоги; — стоимость потерь из-за пропуска событий; ; - стоимость (затраты) на получение правильного решения (соответственно отнесения х к областям I и II).

При многократных измерениях оценку качества работы системы обнаружения целесообразно производить по средней стоимости потерь. Средняя стоимость обнаружения для рассматриваемого случая

.

Произведение вида в теории статистических решений принято называть риском принятия j-й гипотезы при отнесении переменной х к одной из областей.

Из рис. 4. 2. 1. 1. и выражения следует, что при заданных u , a также Р(I) и Р(II) потери из-за ошибок обнаружения существенно зависят от выбора точки . Выбор ее целесообразно производить, исходя из минимизации средних потерь. Если решить уравнение вида

,

то после очевидных преобразований получим

.

Отношение вида

называется коэффициентом правдоподобия.

Из этого соотношения можно найти значение , которое при заданных , , Р(I), Р(II) а также стоимостях потерь обеспечивает минимум средних потерь.