Дифференциальная топология и гомология

Теоретическая физика испытала весьма значительное преобразование — хотя это пока и не настоящая куновская смена парадигмы — в 70 и 80 годах, но это преобразование на взгляд большинства внешних наблюдателей прошло незамеченным: к традиционным орудиям математической физики (действительный и комплексный анализ), которая может лишь локально заниматься пространственно-временным многообразием, были добавлены топологические методы (или, более точно, методы дифференциальной топологии⁵²), описывающие глобальную (холистскую) структуру универсума. Эта тенденция видна на примере анализа аномалий в теориях измерений⁵³ в теории фазовых переходов, совершаемых в завихрениях⁵⁴; в теориях струн и сверхструн⁵⁵. За эти годы было опубликовано множество книг и журнальных статей о «топологии для физиков»⁵⁶.

В те же самые времена в сфере социальных и психологических наук Жак Лакан указал на существенную роль, играемую дифференциальной топологией:

Эта диаграмма [лента Мебиуса] может быть рассмотрена как основание некоей изначальной надписи, находящейся в ядре, конституирующем субъекта. Это значит гораздо больше, чем вы сперва могли бы подумать, поскольку вы можете поискать тип поверхности, способной принимать такие надписи. Вы, возможно заметите, что сфера, древний символ цельности, не подходит. Подобный разрез способны принимать на себя тор, бутылка Кляйна, поверхность cross-cut. Причем само разнообразие весьма важно, поскольку оно многое объясняет в структуре душевных заболеваний. Если субъекта можно символизировать таким фундаментальным разрезом, точно так же можно показать, что разрез на торе соответствует невротическому субъекту, а разрез на поверхности cross-cut — другому виду душевного заболевания⁵⁷,⁵⁸.

Как верно заметил Альтюссер, «Для этого достаточно признать, что Лакан в конечном счете наделяет мысль Фрейда теми научными понятиями, которые она требует⁵⁹». Совсем недавно топология субъекта Лакана была плодотворно применена к кинематографической критике⁶⁰ и к психоанализу СПИДа⁶¹. Говоря на языке математики, Лакан в рассматриваемом пункте указывает на то, что первая гомологическая группа⁶² сферы тривиальна, тогда как группы других структур сложны; эта гомология связана с тем, что поверхность становится связанной или развязанной после одного или нескольких разрезов⁶³. Кроме того, существует, как догадывался и сам Лакан, тесная связь между внешней структурой физического мира и его внутренней репрезентацией в качестве теории узлов: эта гипотеза недавно была подтверждена дифференцированием инвариантов узлов(и, в частности, полинома Джонса⁶⁴), проведенным Витгеном, исходя из квантовой теории трехмерных полей Черна-Саймонса⁶⁵.

Аналогичные топологические структуры появляются в квантовой гравитации, но, ввиду того, что в игру вступают не столько двухмерные, сколько многомерные многообразия, равную роль начинают играть и высшие гомологические группы. Эти многомерные многообразия не могут быть визуализированы в условном картезианском пространстве трех измерений: к примеру, проективное пространство RP, образующееся при отождествлении антиподов обычной сферы, потребовало бы от евклидова пространства увеличения измерений примерно до 5⁶⁶. Тем не менее, высшие гомологические группы могут восприниматься, по крайней мере приблизительно, благодаря подходящей многомерной (нелинейной) логике⁶⁷,⁶⁸.