Виды идей доказательств теорем в текстах школьных учебников

Идеи можно условно разделить по следующим основаниям: по принадлежности идеи к школьной математической дисциплине или разделу; по принадлежности идеи к методам научного познания; по принадлежности к математическим методам; по отражению в идее особенностей структуры ее источника; по составленности из других идей. Типология идей доказательств теорем в школьных учебниках математики представлена на схеме 2.

По принадлежности к дисциплине идеи делим на внутридисциплинарные (или предметные) и интердисциплинарные. Например, чтобы доказать равенство углов, достаточно доказать, что они (или им равные) опираются на равные дуги одной окружности (или окружностей, равных радиусов) - внутридисциплинарная идея, принадлежащая курсу геометрии. Интердисциплинарные идеи, в свою очередь, делятся на: логические, метрические и теоретико-множественные. Например, чтобы доказать, что «из следует », достаточно доказать, что «из и отрицания следует отрицание » - логическая идея. «Чтобы доказать, что один отрезок (угол, дробь) меньше другого, достаточно найти третий отрезок (угол, дробь), который был бы больше первого, но меньше второго» - метрическая идея. «Чтобы доказать, что некоторая линия задается данным уравнением, достаточно доказать, что множество пар чисел, являющихся координатами точек линии, совпадает с множеством пар чисел, удовлетворяющих данному уравнению» - теоретико-множественная идея.

По принадлежности идеи к методам научного познания выделяем идеи, основанные на методах полной и неполной индукции, дедукции, аналогии. Здесь целесообразно выделить две группы идей: достоверных и вероятностных. К достоверным следует отнести идеи, основанные на полной индукции и дедукции, а к вероятностным – на неполной индукции и аналогии.

Говоря о принадлежности идеи к тому или иному математическому методу, следует понимать, что аппарат математического метода, использованный внутри дисциплины (например, векторный метод в теме «Векторы») свидетельствует о применении внутридисциплинарной идеи, но, как правило, математические методы используются для решения задач не одноименных разделов. Например, идеи векторного метода конкретизируются в правилах перевода языка векторов на «другой» (сюжетный, геометрических преобразований, комплексных чисел и др.) язык.

Математические идеи – это результат применения математической информации в условиях конкретной ситуации и обобщения до возможности их использования в других ситуациях. Математическая информация представляет собой определения понятий, формулировки теорем, доказательства теорем, правила, алгоритмы, методы и задачи. Их логические структуры влияют на процесс формулирования идей и их использования. Например, определения неправильной дроби и неотрицательной функции имеют дизъюнктивную структуру, которая по-разному может проявляться в условиях конкретной задачной ситуации. Формулировки школьных теорем обычно имеют структуры: B(x) или . Доказательства теорем или решения задач, построенные на основе этих структур имеют разные последовательности реализации. Но они похожи друг на друга в рамках одной структуры. Например, чтобы доказать, что некоторый объект с указанными свойствами существует, достаточно: 1) указать объект или его построить; 2) доказать, что построенный объект обладает указанными свойствами.

Идеи могут быть составлены из разных идей. В этой классификации выделяем простые, составные и комбинированные идеи. Например, вышеуказанная идея об уравнении линии будет комбинированной в следующей формулировке: «чтобы доказать, что некоторая линия задается данным уравнением, достаточно доказать, что множество пар чисел, являющихся координатами точек линии, содержится во множестве пар чисел, удовлетворяющих данному уравнению, и ни одна пара чисел, не принадлежащая второму множеству, не будет принадлежать первому (комбинация логической и теоретико-множественной идей). В сокращенной трактовке в неявном виде данная идея «спрятана» в определении «уравнение линии» [20, с. 230]. Простыми идеями доказательств теорем следует считать идеи, приводящие к доказательству теорем с одним требованием, например, идеи доказательств некоторых свойств и признаков параллелограмма, а составными – идеи доказательств теорем с двумя и более требованиями, например: «в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну», а также, возможно и теорем, доказанных методом полной индукции или разделительным доказательством. Идея доказательства «первого» признака параллельности двух прямых [20] одновременно и составная, и комбинированная. Она составная, так как для доказательства теоремы используется полная индукция. Комбинированность этой идеи выражается в том, что, во-первых, второй случай сводится к первому, во-вторых, в специальном построении «линии» и доказательстве того, что она является секущей по отношению к данным прямым, в-третьих – внутри второй идеи используется идея доказательства принадлежности трех точек прямой.

В текстах доказательств теорем идеи доказательств не выделены, они, как бы, «стоят за текстом», а эффект от изучения самих текстов порождает системный взгляд на учебный материал доказательства. Причем в виде идеи этот взгляд является целостным видением всего доказательства и представляет наложение (супераддитивность) смыслов различных элементов доказательства, и даже комбинаций различных идей. Супераддитивность смыслов различных элементов доказательства Ж. Адамар называет «синтезом», который «является для нас поводырем, без которого мы были бы как слепые, умеющие ходить, но никогда не знающие направления, в котором надо идти» [4, с. 99].

Выводы по параграфу.

В учебниках математики, с увеличением в их текстах доли теорем и задач на доказательство, описания текстов учебных материалов все больше и больше пронизаны идейно-математической направленностью. В учебниках для старших классов описываемые контекстами идеи уже не просто составные или

Схема 2. Типология идей доказательств теорем в школьных учебниках математики

комбинированные, - в идеале они становятся полиидейными и должны играть роль мощных учебных и методических средств.

Идеи доказательств теорем, содержащиеся в текстах школьных учебников, следует рассматривать в качестве контекстов текстов доказательств теорем. Их интегрирующее начало – как теоретического факта, формы его презентации и способа действия – обладает особенностью осмысленного воздействия и на учебно-математический потенциал учеников, и на методико-математический аппарат учителя математики.

Умение распознавать различные виды контекстов учебных материалов формирует способность интегрировать полученную информацию, правильно воспринимая методико-математический контекст учебных материалов по математике. А для этого будущий учитель математики должен иметь необходимую информацию о типологии данного вида контекста. Именно этому и посвящен следующий параграф.