Понятие «идея доказательства теоремы» в тексте школьного учебника

Идея доказательства теоремы как составляющая учебно-математического и логико-математического контекстов учебного материала по математике

Целью данного параграфа является теоретическое исследование понятия «идея доказательства теоремы». Его широкое, и в тоже время искусственно обособленное, использование в методической и учебно-математической литературе призывает определить его роль, место и дидактические возможности.

Понятие «идея доказательства теоремы» в тексте школьного учебника

Одним из подтверждений значимости математических идей может служить высказывание французского математика Ж. Адамара [4, с. 63]: «…всякое математическое доказательство, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял до тех пор, пока я не почувствовал его как единую, общую идею».

Понятия «идея», «идея решения», «идея доказательства» и тому подобные понятия широко используются в быту, в обучении, в науке, но что парадоксально нигде не определяются и, более того, по-разному трактуются. Понятие «идея» приобретает различную смысловую окраску в зависимости от того, в рамках какой науки идет рассмотрение этого понятия. Обращаясь к философскому словарю, находим следующее описание: «Идея – философский термин, обозначающий «смысл», «значение», «сущность»» [224, с. 14]. И далее, там же: «Под идеей понимается одна из форм, способпознания, смысл которого заключается, в формулировании обобщенного теоретического принципа, объясняющего сущность, закон явлений». Другими словами, под идеей можно понимать как сущность, так и форму, которую может принять эта сущность, тот или иной факт. Вложение сущности в ту или иную форму присущее только человеку. Именно он способен логически правильно новизне и возникающим эмоциям регулировать далее свой познавательный процесс. А.Ю. Агафонов, исследуя проблемы негативного и позитивного понимания, отмечает: «Парадоксальность осознанного эффекта понимания выражается в том, что любая мысль является новой мыслью, но вместе с тем она узнается, как если бы она хранилась в памяти» [3, с. 269]. В момент познания неизвестного в известном это известное приобретает новый смысл через новую форму (идея в качестве логико-математического контекста). Платон в поисках объяснения, как возникает мысль, пришел к выводу: мысль – результат воспоминания идей. Исследования известного немецкого психолога М. Вертгеймера, связанные с исследованиемдинамики процесса мышления, привели его к выводу: возникновение идеи - один из этапов мыслительной деятельности. Само же понятие «идея» М. Вертгеймер понимает как инсайт (озарение, внезапная догадка). Однако следует заметить, что автор не ставит в прямую зависимость возникновение идеи от случайности. Рассматривая отношение учитель-ученик, он считает, что в процессе мышления ученику должна оказываться «помощь в ее функциональном значении, в зависимости от ее места, роли и функции в рамках требований ситуации» [56, с. 92]. Возможность оказания такой помощи он объясняет тем, что «процесс озарения (может быть даже микропроцесс), … имеет свою логику и структуру, и которым поэтому можно управлять».

Д. Пойа, как и М. Вертгеймер, понимает «идею» как инсайт «… внезапный проблеск света» [243, с. 195]. Но, тут же, автор замечает, что после этапа инсайта наступает превращение его результатов в способ действия. Приведем отрывок из решения одной задачи, которую описывает Д. Пойа. «Что представляет собой неизвестное? – Объем усеченной пирамиды. А что это за геометрическое тело? Как оно определяется? Усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды, отсекаемая математической плоскостью, параллельной основанию…. Если бы мы знали объемы этих двух пирамид – обозначим их, соответственно, через и , - то можно было бы найти объем усеченной пирамиды . Попытаемся найти объемы и А – в этом и состоит наша идея!» [там же, с. 187].

Таким образом, Д. Пойа к идее относит не факт, лежащий в ее основе, а способ действия, который этот факт дает (идея в качестве учебно-математического контекста). Однако этот способ действия настолько конкретен, что не может принять статус знания. А, следовательно, возникая в голове человека, идея нуждается в дополнительной обработке – в обобщении. Д. Пойа не выделяет обобщенные идеи, обобщенные способы действия, а рассматривает конкретные идеи при решении конкретных задач.

Итак, под «идеей» понимается результат некоторого мыслительного процесса, который, с одной стороны, отражает его сущностную, предметную, содержательную характеристику, а, с другой - отражает его деятельностную характеристику.

Следует иметь в виду, что идеи «на пустом» месте не рождаются, они плод мыслительных концентраций, рассуждений и поисков. В «Современном словаре по педагогике» понятие «идея» представлено так: «идея – мысль, получившая концептуальное оформление» [287, с. 257]. Здесь слово «оформление» можно трактовать как «выраженная в знаке»: в речи, текстом, формулой или даже с помощью невербальных средств. А.Ю. Агафонов отмечает: «Инсайт возникает в результате осознания проверенного в рефлексивном контуре решения. Только после того, как «смысл узнал себя», происходит его осознание в качестве мысли, которое сопровождается чувством субъективной очевидности. Осознается всегда то, что уже до этого момента сознанием идентифицируется и выбирается для осознания. Осознание – результат уже проверенного решения» [3, с. 271]. По утверждению А.Ю. Агафонова «осознается то, что идентифицируется», значит необходимым условием возникновения идеи-инсайта должна быть идея-знак. Под идеей-знаком можно понимать и текст, в котором отражена математическая сущность, представленная способом действия. Своевременное знакомство с такими идеями будет способствовать «идентификации» их в конкретных проблемных ситуациях. Вышесказанное позволяет рассматривать «идею», прежде всего, какобобщенный способ действия, базирующийся на некоторой «сущности» – на теоретическом факте. Это представление сужает вышеприведенное понимание «идеи», однако, учитывая, что источниками идей выступают математические факты, такое сужение вполне оправдано. Не освоив разнообразие возможностей применения математического факта, ученику вряд ли придет в голову «нужная» мысль.

В связи со сказанным обратим внимание на понятие «идея доказательства теоремы». Эту проблему подняла в своей книге «Формирование умственной культуры в процессе обучения математике» В.Н. Осинская. При изучении теорем и их доказательств главным В.Н. Осинская считает: «… основную главную мысль чего-либо, общее понятие о предмете или явлении» [231, с. 110]. И эта «мысль» при ее формулировке принимает у нее такую форму, которая определяет способ действия. Например, идею доказательства теоремы синусов она формулирует так: «для доказательства теоремы синусов достаточно площадь треугольников выразить через две стороны и угол между ними тремя способами и, полученное равенство, разделить на произведение сторон треугольника» [231, с. 73]. Таким образом, В.Н. Осинская под «идеей доказательства теоремы» понимает, прежде всего, главную мысль, обличенную в форму, которая дает способ действия. Она пишет: «Идея выступает в доказательстве при его запоминании, воспроизведении, как некий «стержень», «ключик», как очень свернутое доказательство» [231, с. 115]. Это понимание «идеи» говорит о том, что данное понятие, хотя оно и не определяется, видится В.Н. Осинской не столько обобщенным способом действия, сколько основой этого способа, причем активизирующее ход доказательства. Не понятно, на каком теоретическом факте он базируется, но, данный способ, несомненно, верен, следовательно, он имеет теоретическую основу, которая не представлена в явном виде содержанием школьного учебника геометрии. Пример Д. Пойа можно рассматривать в том же ракурсе. Рассмотренные примеры, с одной стороны, позволяют рассматривать «идею» и как обобщенный способ действия, и как его практическую основу, причем и «способ», и «основа» базируются на теоретическом факте, который может содержаться в учебнике, может выводиться из его теории, быть априорно допущенным, но четко не сформулированным. С другой стороны, непонятно, чем, кроме формы, способ действия отличается от теоретического факта, лежащего в его основе. Для внесения ясности в содержание данного термина проведем следующее рассуждение.

Любое утверждение представляет собой логическую связь как минимум двух понятий (в противном случае это не будет являться утверждением).

Допустим, есть некоторая теорема (факт). Как известно, любую теорему можно представить в виде . В связи с этим, относительно понятия, которое содержится в , утверждение можно рассматривать как утверждение – свойство: как только имеет место , ему присуще и . Относительно понятия, которое содержится в , утверждение можно рассматривать как утверждение-признак: для того, чтобы имело место достаточно, чтобы выполнялось . относительно утверждения , указанное утверждение можно рассматривать как утверждение-признак и утверждение-свойство - : если известно, что не выполняется , то и не будет иметь место. Последнее чаще используется как основа метода от противного, и реже - в качестве классификационного средства выполнения или невыполнения А.

Для более четкого понимания сказанного приведем пример. В качестве утверждения «» рассмотрим утверждение: вертикальные углы равны. Это утверждение связывает два понятия: вертикальные углы и равенство углов. Относительно понятия «вертикальные углы» эта теорема является теоремой-свойством (свойством вертикальных углов): как только о некоторых углах известно, что они вертикальные, то, значит, они должны быть равны. Относительно понятия «равенство углов» эта теорема представляет собой теорему-признак: для того, чтобы выполнялось равенство двух углов, достаточно доказать, что они вертикальные. Относительно она выступает как теорема-признак и свойство (классификационный признак объекта): если известно, что некоторые углы не равны, то они не являются вертикальными.

Из рассмотренного примера видно, что целевое предназначение этих четырех форм использования одного и того же утверждения (факта) для доказательства различны. Значит, как правило, способы реализации (способы действий) этих идей могут быть различными. Даже если некоторое рассуждение имеет в своей основе один и тот же теоретический факт, то они могут осуществляться по разным схемам (разными идеями).

Из сказанного можно сделать вывод. Под идеей доказательства теоремы понимаем основу обобщенного способа действия или сам способ, который:

1) опирается на теоретический факт (определенный учебником, либо выводимый, либо априорно допущенный, но явно не сформулированный в учебнике);

2) характеризуется глобальным и/или локальным направлением хода (или изучения по тексту) доказательства данной теоремы от ее заключения к условию.

Говоря об идее как об основе обобщенного способа действия (в качестве типа учебно-математического контекста), можно вспомнить В.Ф. Шаталова и некоторые из созданных им опорных сигналов, на которых идеи доказательств приведены в виде наглядных геометрических образов. Многие рисунки Д. Пойа в его известных книгах позволяют понять идею рассуждения даже при беглом их рассмотрении. Например, идея доказательства теоремы о площади трапеции: чтобы найти площадь трапеции, достаточно трапецию разбить на фигуры, площади которых можем найти и воспользоваться свойством

, может

В подтверждение правомерности понимания под идеей основы обобщенного способа действия в виде образа приведем мнение Ж. Адамара, высказанное им по этому поводу: «В фокусе моего сознания проходят последовательные образы, или, точнее, общий образ; сами же рассуждения ожидают, так сказать, в прихожей, чтобы быть введенными лишь в начале стадии «завершения». Этот случай очень ясно иллюстрирует природу и роль краевого сознания, которое находится, так сказать, на службе у полного сознания, готовое появиться каждый раз, когда в нем возникает необходимость» [4, с. 76]. Понятно, что и в процессе изучения готового доказательства может возникнуть идея доказательства в виде образа, озарения и т.п.

Понимая идею в указанной выше трактовке, заметим, что речь идет о понимании идеи как результата чьей-то мыслительной деятельности, например о понимании идеи, заложенной в текст доказательства теоремы, приведенной в школьном учебнике. В теоретическом содержании учебника заложено большое количество идей, надо только уметь извлекать их из текстов. Значит, естественным является вопрос: «Где в тексте учебника его авторы «спрятали» идеи?». Поскольку доказательства теорем в учебниках изложены синтетическим стилем, значит «кульминация рассуждений» приходится на его конец, то есть идея доказательства должна быть предъявлена в конце текста доказательства.

Пример 8. В учебнике «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасяна и др. следующим образом описано доказательство теоремы: «Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды». Доказательство. Пусть хорды и пересекаются в точке (рис. 2). Докажем, что .

Рассмотрим треугольники и . В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу , а углы 3 и 4 равны как вертикальные.

По первому признаку подобия треугольников: подобен . Отсюда следует, что , или = [20, с. 165].

Обратим внимание на последнее предложение, представленного текста. Обобщая мысль, сформулированную в этом предложении, приходим к выводу: чтобы доказать равенство произведений длин отрезков, достаточно доказать пропорцию, равносильную этому равенству.

Из последних двух предложений текста доказательства теоремы вытекает другая формулировка этой идеяи чтобы доказать «геометрическую» пропорцию, достаточно доказать подобие треугольников, содержащих своими сторонами соответственные члены пропорции. Другими словами, доказательство пропорции может быть следствием подобия каких-то треугольников. Каких треугольников? Рассматривая левую и правую части пропорции, обращаем внимание на буквы. Выписывая их, получаем: и . То есть, эти точки определяют два треугольника: и . Подобие этих треугольников и надо попробовать установить. Если была бы получена пропорция , то устанавливалось бы подобие треугольников и .

Аналогичные рассуждения можно провести, анализируя не только числители и знаменатели дробей, но и одни числители ( и ) или одни знаменатели ( и ).

Итак, идея доказательства теоремы как форма некоторого теоретического факта имеет непосредственное отношение к логико-математическому контексту текста доказательства теоремы, рассматриваемого в качестве учебного материала. Как обобщенный способ действия идею доказательства теоремы следует отнести к разновидности учебно-математического контекста. Совместное рассмотрение этих точек зрения приводит к мысли об использовании «идеи» в качестве интегративного средства учебной деятельности школьника и методического средства в работе учителя. Будущий учитель математики должен понимать, что в школьных учебниках математики, как правило, заложено опосредованное формирование математических идей, которое целесообразно целенаправленно (а не опосредованно) и полноценно использовать.