Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства обратных матриц1) 2) Вычисление обратной матрицы. 1. Обратную матрицу можно вычислить следующим образом: . Здесь верхний индекс Т обозначает операцию транспонирования матрицы – перемену местами строк и столбцов данной матрицы. 2. Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. К исходной матрице справа приписывается единичная матрица того же порядка. Совершаются элементарные преобразования с целью получить на месте исходной матрицы единичную. Матрица, которая получится справа от нее и будет обратной к матрице А. Пример
. Лекция 3 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ( Тема 1.2.) План лекции Однородные и неоднородные системы уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Критерий совместности системы n-линейных уравнений с n-неизвестными (Теорема Кронекера-Капелли). Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, Гаусса и обратной матрицы. Рассмотрим систему: (1) Решением системы называется любая совокупность значений неизвестных ; ; …; , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Матрица A= -матрица коэффициентов системы или матрица системы. -столбец свободных членов. A*= -расширенная матрица системы. Задача – найти решение системы. Система, имеющая решение – совместна. Система, не имеющая решения – несовместна. Правило Крамера. Если определитель матрицы системы n уравнений с n неизвестными отличен от нуля (), то система имеет единственное решение, определяемое формулами: () или . Здесь - определитель, получаемый из путем замены i- го столбца на столбец свободных членов. Для доказательства умножим первое уравнение системы (1) на А 11, второе - на А 21 и т.д. Последнее – на , затем сложим их все. Получим: 1 (a11 A11 + a21 A21 + … + an1 An1 ) + + 2 (a12 A21 + a22 A21 + … + an2 An1) + …+ + n (a1n A11 + a2n A21 + … + ann An1) = =b1 A11 + b2 A21 + …+ bn An1.
1 * =b1 A11 + b2 A21 + …+ bn An1. При этом b1 A11 + b2 A21 + …+ bn An1 - это определитель , разложенный по первому столбцу. Аналогично получим 2 * = 2 и т.д. Откуда 1 = , 2 = , …, n = . Метод Гаусса Решение системы линейных уравнений путем исключения неизвестных. Элементарные преобразования системы уравнений – такие, которые приводят к получению эквивалентной системы уравнений, т. е. не изменяют систему. К ним относятся: 1) перемена местами двух уравнений системы. 2) умножение какого-либо уравнения системы на число 3) умножение какого-либо уравнения системы на любое число и прибавление его к другому уравнению. Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования для получения системы уравнений, которая решается проще, чем исходная. Пусть дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными: (2) Расширенная матрица системы имеет вид . При помощи элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к наиболее простому виду (ступенчатому), из которого непосредственно можно получить решение системы. При этом можно интуитивно совершать те или иные преобразования, имея цель получить в итоге нули слева и ниже главной диагонали. А можно использовать стандартный алгоритм, который заключается в так называемом прямом и обратном ходах. Алгоритм метода Гаусса: a) Переставляем уравнения системы так, чтобы . b) Умножаем первое уравнение на и вычитаем из 2-го. Затем и вычитаем из 3-го и так далее. В результате такого преобразования переменная будет исключена из всех уравнений, кроме 1-го. c) Если появились уравнения вида ,удаляем их из системы. (Конец первого шага). d) Второй шаг аналогичен первому, только (при ) второе уравнение умножают сначала на , потом (2) и так далее и вычитают его из 3-го,4-го,…, m-го уравнений. В результате исключаем из всех уравнений, кроме 1-го и 2-го. e) На третьем шаге исключаем и так далее. f) Через m шагов прямого хода система приводится к виду
Здесь (мы удалили тождества вида 0=0). При система будет иметь треугольный вид. Если на каком-либо этапе встретится уравнение вида: , то система несовместна. Решение прекращается. При (треугольная система) путём обратного хода вычисляется единственное решение. При r<n система имеет вид трапеции. Неизвестные ,… - это главные неизвестные, … - свободные. Они могут принимать любые фиксированные значения. Придав свободным неизвестным некоторые фиксированные значения , начинаем обратный ход метода Гаусса. Получаем: Общее решение: = = … = … При различных наборах значений получаются различные частные решения системы. Пример 1. Составляем расширенную матрицу системы и совершаем прямой ход метода Гаусса:
Обратный ход: решаем уравнения, начиная с последнего: , Пример 2.
Система имеет множество решений. Главные неизвестные - . Свободные неизвестные - , - могут принимать любые значения. Пример 3. . Последняя строка имеет вид Уравнение не выполняется ни при каких х, следовательно,система несовместна. Систему линейных алгебраических уравнений (nxn) можно записать в матричном виде: , , . Тогда решением системы будет (если ) . Пример:
,
.
|