Локальные экстремумы.

Пусть функция Z = F(X, Y) определена на множестве {М}, а М₀ (X₀, У₀) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция Z = F(х, у) имеет в точке М₀ локаль­ный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M₀, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) Из этой окрестности выполняется неравенство F(M) ≤ F(M₀) (F(М) ≥ F(М₀)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции Z =F(M) — F(М₀) удовлетворяет одному из условий в окрест­ности точки M₀:

ΔZ ≤ 0, если M₀ — точка локального максимума;

ΔZ ≥ 0, если M₀ — точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условия существования ло­кального экстремума.

Теорема. Если функция z = F(X, у) имеет в точке M₀ (X₀, Y₀) Локальный экстремум и частные производные пер­вого порядка, то все эти частные производные равны нулю:

Для случая функции двух и более переменных необходи­мое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M₀.

Следует особо отметить, что условия (8.10) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции Z = х₂ — у₂ частные производные равны нулю в точке O(0, 0), однако в этой точке функция (которая является уравнением ги­перболического параболоида) не имеет экстремума: F(0, 0) = 0, но в любой окрестности точки О есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (8.10), называются точками возможного экстремума, или Стационарными точ­ками.