Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование неявных функций

1) Рассмотрим функцию двух переменных . Предположим, что переменные и сами являются функциями переменной :

Тогда t следующим образом:

Теорему 9 приведем без доказательства.

Теорема 9. Пусть функции дифференцируемы в точке Обозначим . Если функция двух переменных дифференцируема в точке , то сложная функция имеет в точке производную, которая вычисляется по формуле , или в более короткой форме: .

Теорема 10. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки а функция определена в некоторой окрестности точки , где Предположим, что функция дифференцируема в точке а в точке существуют частные производные Тогда в точке существует частная производная сложной функции

причем Или в более короткой форме записи:

Очевидно, что справедлива аналогичная формула для вычисления частной производной функции по переменной

Теорема 11. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а переменные являются функциями переменных определенными в окрестности точки Если функция дифференцируема в точке , и в точке существуют частные производные при

Имеем в точке частные производные причем айти производную функции , заданной неявно уравнением .

2) Алгоритм решения. если при каждом фиксированном , принадлежащем некоторой области , уравнение (61) имеет единственное решение , принадлежащее некоторой области , то уравнение (61) задает функцию с областью определения и областью значений .

Если в некоторой окрестности точки функция дифференцируема и , то уравнение (61) определяет функцию , дифференцируемую в точке , причем ее производная определяется формулой .

1. Вычисляем частные производные и в точке , где есть корень уравнения .

2. Находим по формуле (62) и записываем ответ.

Замечание 12. Аналогично вычисляются частные производные функций нескольких переменных, заданных неявно. Например, если уравнение задает функцию , то при известных условиях функция дифференцируема в точке и ее частные производные определяются формулами , где есть корень уравнения .

30. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.