Дифференциал функции нескольких переменных 1-го, 2-го, n-го порядков. Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции нескольких переменных.

Определение. Величину называют полным приращением функции в точке .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют два числа и такие, что , где функция - бесконечно малая в точке , т.е.

Заметим, что поскольку , то и предел произведения также равен нулю .

Полным дифференциалом функции нескольких переменных можно пользоваться для приближённых вычислений. Пусть дана дифференцируемая функция Её полное приращение выражается формулой:

(1)

т.е. приращение функции приближенно можно заменить её полным дифференциалом. Так как , то Подставляя это выражение для в формулу (1), получим: , откуда: . (2)

Формулой (2) можно пользоваться для приближённых вычислений значений функций двух переменных в точке если известны значения функции и её частных производных в самой точке Аналогичные формулы можно вывести для функции переменных при Например, при получим: .