Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная функции по направлению. Градиент.Рассмотрим функцию двух переменных Z=f(x,y). По определению частной производной функции fв точке (x₀,y₀) по переменной x мы фиксировали величину y₀ и придавали приращение переменной x. Можно сказать, что мы вычисляли производную функцию f «в направлении» оси Ox, и частная производная характеризует изменение функции f в направлении оси Ox. Рисунок 1. В том же смысле можно сказать, что частная производная – производная в направлении оси Oy. В практических задачах возникает вопрос: как меняется функция при изменении переменных в произвольном направлении? Пусть функция f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M₀ = (x₀,y₀) R². Возьмем произвольный единичный вектор и число . Рассмотрим точку (Смотреть рисунок 1). Пусть число h таково, что точка Рассмотрим приращение функции f в точке M₀: вызванное приращением переменных , .
Рисунок 2. Определение. Если существует предел то он называется производной функции f в точкеM₀ = (x₀,y₀) по направлению вектора и обозначается В случаях, когда b=0 или a=0, производная по направлению {a,b} является производной по переменной x или по переменной y соответственно. Для вычисления производной по направлению используется следующая теорема. Обозначим α и β углы, которые образует вектор {a,b} с положительными направлениями координатных осей. Тогда, поскольку . Теорема. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке (x₀,y₀), то в этой точке f имеет производную по любому направлению , при этом . Доказательство. Функция - функция двух переменных x и y, каждая из которых является в свою очередь функцией одной переменной h: По правилу вычисления производной сложной функции имеем: . С другой стороны, Отсюда и следует утверждение теоремы. Следствие 1. Если функция f(x,y) имеет в окрестности точки M₀ = (x₀,y₀) частные производные, непрерывные в этой точке, то она имеет в M₀ производную по любому направлению. Определение. Вектор называется градиентом функции f в точке и обозначается grad() или . Используя понятие скалярного произведения векторов, можно записать в виде: . Таким образом, производная функции f в точке по направлению равна скалярному произведению градиента f в точке на вектор . Пусть ϕ– величина угла между векторами и . Тогда используя формулу скалярного произведения векторов можно записать: (формула 1), так как Предположим, что . Вычислим производную функции f в точке в направлении В этом случае 𝝋=0, значит, . Тогда (формула 2). Поскольку из (формулы 1) и (формулы 2) следует, что производная функция f по направлению в точке достигает своего максимального значения, когда . Заметим, что направление градиента – это единственное направление, по которому производная принимает максимальное значение, так как, только в случае, когда 𝝋=0.
|