Погрешности обработки информации на ЭВМ

Основополагающим в практике переработки информации с применением современных ЭВМ является число. Любые процедуры (вычислительные, демонстрационные и т.д.) с применением ЭВМ базируются на использовании чисел. Однако в силу ряда объективных причин операции с числами приводят к искажению первичной информации и соответственно к неточным результатам. Ниже рассматриваются некоторые аспекты этой проблемы, лежащие в области природы чисел, представлении их в ЭВМ, а также в области алгоритмизации процессов вычислений.

Системы счисления

Системой счисления называют совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, с помощью которых можно установить взаимно однозначное соответствие между любым числом (т.е. провести сравнение) и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами. Иначе, цифры в совокупности – это своеобразный алфавит. Но знание только алфавита еще не дает возможности передавать с его помощью информацию. Необходимы определенные правила, по которым из элементов алфавита складывается образ, представляющий определенное содержание информации. Этот набор правил и есть система счисления.

В истории счета было множество систем счислений, отличающихся различными признаками. Однако их анализ позволяет выделить основной признак, присущий всем системам счисления – позиционность, в соответствии с которым системы счисления делят на позиционные и непозиционные.

Непозиционными называют такие системы счисления, в которых количественный эквивалент цифры не зависит от места ее расположения в записи числа. Известные непозиционные системы счисления используют либо принцип сложения (такие системы называют аддитивными), либо принцип умножения (их называют мультипликативными). Наиболее простой является аддитивная система счисления с одной цифрой – единицей. Например, запись, состоящая из последовательности черточек 1111111, где количественный эквивалент каждой черточки (знака) соответствует единице, представляет число 7. Подобные системы в настоящее время не находят применения.

Более сложной непозиционной системой счисления является римская система. В ней реализованы принципы не только сложения, но и вычитания. Как известно, в римской системе используются буквы алфавита. В современной десятичной системе это имеет вид, представленный в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Алфавит римской системы счисления

В этой системе счисления числа формируют по следующим правилам:

- если цифра слева меньше стоящей справа, то левая цифра вычитается из правой (IV; 1<5; следовательно, 5-1=4; XL; 10<50; следовательно,50-10=40);

- если цифра справа меньше или равна цифре слева, то они складываются (VI; 5+1=6; VIII; 5+1+1+1=8; XX; 10+10=20).

Так, число 1964 в римской системе счисления имеет вид MCMLXIV (M-1000; CM-900; LX-60; IV-4). Оно является результатом сложения чисел:

A_D=M(1000)+CM(900)+LX(60)+IV(4)=MCMLXIV

или в общем виде

A_D=D₁+D₂+D₃+…+D_N= .

Из вышеприведенного следует, что римская система счисления относится к аддитивным системам.

В общем случае непозиционные системы счисления имеют сложные способы записи чисел и правила выполнения арифметических операций. Поэтому в вычислительной технике они не применяются.

Позиционными называют такие системы счисления, в которых количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа. В таких системах одна и та же цифра принимает различные числовые значения в зависимости от местоположения этой цифры в совокупности цифр, представляющих запись числа. Например, в записи 575 цифра «5» встречается дважды, однако ее количественный эквивалент в обоих случаях различен: крайняя правая цифра «5» обозначает число единиц – пять, а левая цифра «5» обозначает число сотен – пятьсот. Очевидно, что и десятеричная система счисления относится к системам аддитивного типа. Важнейшим отличием десятеричной системы от римской является наличие в первой элемента «ноль».

Теперь можно уточнить содержание термина «алфавит» - это упорядоченный набор символов-цифр (а₀; а₁; а₂; …; а_n), используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления. Число символов (цифр) алфавита p=n+1 называют основанием системы счисления, а систему называют p - ричной.

Самой привычной для нас является десятеричная система счисления. Ее алфавит – (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), а основание p=10, т.е. в этой системе для записи любых чисел используются только десять разных символов (9 цифр + ноль). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т.д., обозначаются уже без использования новых цифр. Десятеричная система счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда.

Самой древней из известных позиционных систем счисления считается шестидесятеричная вавилонская система, в которой использовалось шестьдесят знаков – цифр. Следы этой системы сохранились и сейчас, частично она используется при отсчете времени (час делится на 60 минут, минута на 60 секунд), при радиусном измерении углов (один градус равен 60 минутам, одна минута равна 60 секундам). Кроме древневавилонской системы счисления до нас дошла двадцатеричная система, которой пользовались на американском континенте древние ацтеки и майя, а на европейском – древние кельты. Следы этой системы сохранялись во французской денежной системе: основная денежная единица – франк делилась на 20 су. Весьма сложно обстояло дело в Англии, где до недавнего времени существовала сложная многоуровневая система денежных единиц.

Современная десятеричная система счисления возникла в Индии, затем была существенно усовершенствована арабами (именно они ввели понятие нуля) и в IX-XIII веках постепенно, с распространением науки и образования от арабских стран, воспринята Западной Европой. Поэтому десятеричную систему счисления стали именовать арабской, соответственно алфавит цифр – арабским. Известная двенадцатеричная система также древневосточная (двенадцать месяцев, дюжина ложек). В английской практике 1 фут=12 дюймов, один шиллинг=12 пенсов.

В современных вычислительных машинах широко используются системы счисления:

- десятеричная (на входе и выходе);

- двоичная (оперативная);

- восьмеричная;

- шестнадцатеричная.

В любой позиционной системе счисления с основанием р≥ основания этой системы изображается как «10». В десятеричной системе число 10→10; в двоичной системе 2→10; в восьмеричной системе 8→10; в шестнадцатеричной 16→10. В таких системах с основанием р произвольное число N записывается следующим образом. Наиболее привычно это продемонстрировать на числе, записанном в десятеричной системе счисления:

.

Но то же число можно записать и так:

.

В общем виде это число будет записано так:

.

Степени (i,j) называются порядок числа, а число, равное 10ⁱ, называется разрядом числа. Очевидно, что все целые числа от 0 до 9 – числа нулевого порядка (имеют разряд единиц, так как 10⁰=1), от 10 до 99 – числа первого порядка (имеют разряд десятков, так как 10¹=10), от 100 до 999 – числа второго порядка (имеют разряд сотен, так как 10²=100) и т.д. Если говорят, например, что данное число является четвертого порядка, то это будет любое число от 1∙10⁴ до 9,9999∙10⁴ или 10000÷99999, так как 99999+1=100000=1∙10⁵, а это следующий разряд числа.

Для восьмеричной системы р₈=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7), для шестнадцатеричной системы принят следующий алфавит р₁₆=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В; С; D; E; F) Основным достоинством шестнадцатеричной системы счисления является то, что она позволяет более компактно делать записи двоичных чисел. Кроме этого обстоятельства есть другие специфические особенности применения шестнадцатеричной системы в ЭВМ. Ниже будут рассматриваться только двоично-десятеричная система счисления. В таблице 2.2 представлены алфавиты десятеричной и двоичной систем счисления.

Таблица 2.2 – Алфавиты двоичной и десятеричной систем

Подобно вышеприведенному примеру можно показать аналоги цифр и в других системах счисления. Но мы остановимся только на специфических особенностях двоичной системы.

Эволюционное развитие техники позволило определить наиболее приемлемое техническое устройство для фиксации этих состояний – это электронный триггер, для которого характерно наличие двух устойчивых состояний. В отсутствие электрического сигнала он «закрыт» и это состояние приравнивается нулю, при наличии он «открыт» и соответственно это состояние приравнивается единице. Современная ЭВМ – это набор триггеров, каждый может находиться в этих двух крайних состояниях.