Способы определения координат центра тяжести.

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

S=S₁+S₂.

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂ .

Рис.9

S=S₁-S₂.

4. Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых одно­родных тел.

1) Центр тяжести дуги окруж­ности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу сим­метрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и d l и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ, равная .

Отсюда окончательно нахо­дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади тре­угольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны: A_i (x_i, y_i), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А ₁ А ₂ , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А ₃ М ₃ (рис.11)_.

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А ₂ А ₃, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А ₁ М ₁. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А ₁ М ₁ получим, учитывая, что координаты точки М ₁ - это среднее арифметическое координат вершин А ₂ и А ₃ :

x_c = x ₁ + (2/3)∙(x_{М 1} - x ₁) = x ₁ + (2/3)∙[(x ₂ + x ₃)/2- x ₁] = (x ₁+ x ₂ + x ₃)/3.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

x _c =(1/3)Σ x_i; y _c =(1/3)Σ y_i.

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12).

Очевидно, что y _c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R × d φ и высотой R. Площадь такого треугольника dF =(1/2) R ²∙ d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3 R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3) R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = α R ², получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга.

Подставляя в (2) α = π/2, получим: x _c = (4 R)/(3π) ≅ 0,4 R.

Вопрос 27