Шестнадцатеричные числа

Лекция 3

Двоичные числа

Вычислительные машины работают с двоичными числами. Двоичная система счисления или система с основанием 2 использует только цифры 0 и 1. Эти двоичные числа названы битами (от b inary dig it). Физически в цифровых электронных системах бит 0 представлен напряжением LOW (низким), а бит 1—напряжением HIGH (высоким).

Человеческая деятельность предполагает использование десятичной системы счисления. Десятичная система, или система с основанием 10, содержит 10 цифр (от 0 до 9). Она также характеризуется значением позиции (или весом). В табл. 2.1 показано, например, что десятичное число 1327 равно одной тысяче, плюс три сотни, плюс два десятка, плюс семь единиц (1000+300+20+7=1327).

Двоичная система обладает также свойством уравновешивания.

Таблица 2.1. Значения позиций десятичных чисел

В табл. 2.2 приведены десятичные значения первых четырех двоичных позиций. Двоичное число 1001 (произносится: один, нуль, нуль, один) преобразовано, таким образом, в свой десятичный эквивалент 9. Бит единицы двоичного числа в табл. 2.2 называется младшим битом (МБ), бит восьмерки— старшим битом (СБ).

Таблица 2.2. Значения позиций двоичных чисел

В табл. 2.3 приведены десятичные числа от 0 до 15, а также их двоичные эквиваленты. Те, кто работает в области использования ЭВМ, должны, по меньшей мере, запомнить эти двоичные числа.

Таблица 2.3. Десятичные числа и их двоичные эквиваленты

Как преобразовать двоичное число 1011 0110 (т.е. один, нуль, один, один, нуль, один, один, нуль) в его десятичный эквивалент? Процедура преобразования выполняется в соответствии с табл. 2.4. Десятичные значения каждой позиции записаны под каждым битом, затем десятичные числа суммируются (128+32+16+4+2=182), что дает 182.

Таблица 2.4. Двоично-десятичные преобразования

Обычно основание системы счисления указывается индексами. Таким образом, число 1011 0110₂ является двоичным (или основания 2), а число 182₁₀ — десятичным: 1011 0110₂ = 182₁₀. Как преобразовать десятичное 155 в его двоичный эквивалент? Процедура преобразования приведена на рис.2.1.

Рис. 2.1. Двоично-десятичные преобразования

Десятичное 155 сначала делится на 2, что дает нам частное 77 и остаток 1. Этот остаток становится МБ двоичного числа и помещается в эту позицию (см. рис. 2.1). Затем частное (77) перемещается, как показывает стрелка, и становится следующим делимым. Затем каждое частное последовательно делится на 2 до тех пор, пока не получится частное, равное 0, и остаток, равный 1 (см. предпоследнюю строку на рис. 2.1). Последняя строка на рис. 2.1 дает нам результат 155₁₀=1001 1011₂.

Упражнения

2.1. Большинство людей в своей практической деятельности использует десятичную систему, цифровая ЭВМ использует ______ систему.

2.2. В двоичной системе бит означает ____________.

2.3. Число 100₁₀ является ___________ числом.

2.4. Записать двоичное число один, один, нуль, нуль в цифровой форме.

2.5. Что означает сокращение МБ?

2.6. Преобразовать в десятичный код следующие двоичные числа: а) 0001; б) 0101; в) 1000; г) 1011; д) 1111;

е) 0111.

2.7. Преобразовать в десятичный код следующие двоичные числа: а) 10000000; 6)00010000; в) 00110011; г) 0110 0100; д) 0001 1111; е) 1111 1111. 2.8. Преобразовать в двоичный код следующие десятичные числа: а) 23; б) 39; е) 55; г) 48.

2.9. 204₁₀=____________ 2 2.10. 1110 1110₂ =_____ 10

Решения

2.1. Двоичную или основания 2. 2.2. Двоичную цифру (binary digit). 2.3. Десятичным (основания 10). 2.4. 1100₂. 2.5. Младший бит. 2.6. Обратимся к табл. 2.3: a) 0001₂=1₁₀; б) 0101₂=5₁₀; в) 1000_s=8₁₀; г) 1011₂= = 11₁₀; д) 1111₂=15₁₀; е) 0111₂=7₁₀. 2.7. Следуем процедуре, приведенной в табл. 2.2: а) 1000 0000₂=128₁₀; б) 0001 0000₂=16₁₀; в) 0011 0011₂=51₁₀; г) 0110 0100₂=100₁₀; д) 0001 1111₂=31₁₀; е) 1111 1111₂=255₁₀.2.8. См. рис. 2.1:

а) 23₁₀: 2= 11, остаток 1 (МБ) б) 39₁₀:2=19, остаток 1 (МБ)

11:2= 5, остаток 1 19: 2= 9, остаток 1;

5:2= 2, остаток 1 9:2= 4, остаток 1;

2: 2= 1, остаток 0 4:2=2, остаток 0;

1:2= 0, остаток 1 (СБ); 2:2- 1, остаток 0;

1:2= 0. остаток 1 (СБ);

в) 55₁₀:2=27, остаток 1 (МБ) г) 48₁₀: 2=24, остаток 0 (МБ);

27:2=13, остаток 1; 24:2 = 12, остаток 0;

13:2= 6, остаток 1; 12.:.2= 6, остаток 0;

6: 2= 3, остаток 0; 6: 2= 3, остаток 0;

3: 2= 1, остаток 1; 3: 2= 1, остаток 1;

1:2= 0, остаток 1 (СБ); 1: 2= 0, остаток 1 (СБ).
2.9. Обратиться к рис. 2.1: 204₁₀ =1100 1100₂ 2.10. Обратиться к табл. 2.2: 1110 1110₂=238₁₀.

Лекция 4

Шестнадцатеричные числа

Ячейка памяти типичной микро-ЭВМ может содержать двоичное число 1001 1110. Такая длинная цепь нулей и единиц сложна для запоминания и неудобна для ввода с клавиатуры. Число 1001 1110 могло бы быть преобразовано в десятичное, что дало бы 158ю, но процесс преобразований занял бы много времени. Большая часть систем микроинформатики использует шестнадцатеричную форму записи, чтобы упростить запоминание и использование таких двоичных чисел, как 1001 1110.

Шестнадцатеричная система счисления (hexadecimal) ', или система с основанием 16, использует 16 символов от 0 до 9 и А, В, С, D, Е, F. В табл. 2.5 приведены эквиваленты десятичных, двоичных, и шестнадцатеричных чисел.

Заметим из табл. 2.5, что каждый шестнадцатеричный символ может быть представлен единственным сочетанием четырех бит, Таким образом, представлением двоичного числа 1001 1110 в шестнадцатеричном коде является число 9Е. Это значит, что часть 1001 двоичного числа равна 9, а часть 1110 равна Е (конечно, в шестнадцатеричном коде). Следовательно, 1001 11102=9E₁₆. (He следует забывать, что индексы означают основание системы счисления.)

-Как преобразовать двоичное число 111010 в шестнадцатеричное? Надо начать с МБ и разделить двоичное число на группы из 4 бит. Затем надо заменить каждую группу из 4 бит эквивалентной шестнадцатеричной цифрой: 1010₂=А, 0011₂=3, следовательно, 111010₂= 3A₁₆.

Как преобразовать шестнадцатеричное число 7F в двоичное? В этом случае каждая шестнадцатеричная цифра должна быть заменена своим двоичным эквивалентом из 4 бит.

Таблица 2.5. Десятичные, шестнадцатеричные и двоичные эквиваленты

В примередвоичное число 0111 заменено шестнадцатеричной цифрой 7, а 1111₂ заменяет F₁₆, откуда 7F₁₆= 1111 0111₂.

Шестнадцатеричная запись широко используется для представления двоичных чисел, поэтому необходимо табл.2,5 также запомнить.

Таблица 2.6. Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное

Преобразуем шестнадцатеричное число 2С6Е в десятичное. Процедура действий соответствует табл. 2.6. Значениями позиций первых четырех шестнадцатеричных цифр являются соответственно слева направо 4096, 256, 16 и 1. Десятичное число содержит 14 (Е_]6) единиц, 6 чисел 16, 12 (C₁₆) чисел 256 и 2 числа 4096. Каждая цифра умножается на соответствующий ей вес, получается сумма, которая и дает нам десятичное число 11374.

Преобразуем десятичное число 15797 в шестнадцатеричное. На рис. 2.2 показана процедура действий. В первой строке 15797₁₀ разделено на 16, что дает частное 987₁₀ и остаток 5₁₀, который преобразуется затем в свой шестнадцатеричный эквивалент (5₁₀=5₁₆) и становится цифрой младшего разряда (МР) шестнадцатеричного числа.

Первое частное (987) становится делимым во второй строке и снова делится на 16, что дает частное 61 и остаток 11 или шестнадцатеричное В. В третьей строке 61 делится на 16, дает частное 3 и остаток 13₁₀ или D₁₆, а в четвертой строке делимое 3 делится на 16, дает частное 0 и остаток 3₁₀ или 3₁₆. Когда частное равно 0, как в четвертой строке, преобразование заканчивается. 3₁₆ становится цифрой старшего разряда (СР) результата, т.е. 3DB5₁₆.

Рис. 2.2. Десятично-шестнадцатеричное преобразование

Упражнения

2.11. Шестнадцатеричная запись широко используется как сокращенная форма записи ____ (двоичных, десятичных) чисел.

2.12. Шестнадцатеричная система имеет основание____.

2.13. Записать следующие шестнадцатеричные числа в двоичной форме: а) С; б) 6; в) F; г) Е; д) 1А; е) 3D; ж) АО; з) 8В; и) 45; к) D7.

2.14. Преобразовать следующие двоичные числа в шестнадцатеричный код: а) 1001; б) 1100; в) 1101; г) 1111; д) 1000 0000; е) 0111 1110; ж) 001 0101; з) 1101 1011.

2.15. Преобразовать следующие шестнадцатеричные числа в десятичный код: а) 7Е; б) DB; в) 12А3; г) 34CF.

2.16. 217₁₀=___________ 16.

2.17.48373,0=___________ 16.

Решения

2.11. Двоичных 2.12. 16. 2.13. Используя табл. 2.5 и процедуру, приведенную § 2.2, получаем: а) СН=1102₂; б) 6Н=0110₂; в) РН= 1111₂; г) Е2Н=1110 0010₂; д) 1АН=0001 1010₂; е) 3DH=0011 1101₂; ж) АОН=1010 0000;

з) 8ВН=1000 1011₂; и) 45Н=0100 0101₂; к) D7H=1101 0111₂.: 2.14. а) 1101₂=9Н; б) 1100₂=СН; в) 1101₂=DH; г) 1111₂=FH; д) 1000 0000₂=80Н; е) 0111 1110₂=7ЕН; ж) 001 0101₂=15Н; з) 1101 1011₂=DBH. 2.15. а) 7ЕН=(16*7) + (1*14) = 126₁₀; б) DBH=(16*13) + (1 *14)=219₁₀; в) 12A3H=(4096*1) + (256*2) + (16*10)+(1*3) = 47710₁₀; г) 34CFH= (4096*3) -Н (256*4) + (16* 12) + (1*15) = 13519,0.

2.16.217₁₀=D9H— действия следующие: 217₁₀: 16=13, остаток 9₁₀=9Н (МР); 13₁₀: 16= 0, остаток 13₁₀=DH (CP).

2.17.48373₁₀: 16=3023, остаток 5₁₀=5Н (МР); 3023: 16= 188, остаток 15₁₀=FH; 188:16= 11, остаток с 12₁₀=СН; 11: 16= 0, остаток 1 11₁₀= ВН (СР). Таким образом, 48373₁₀=BCF5H.