Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Пример исследования и построения графика функции с помощью производной

Итог

 

В результате выполнения задания студент получил оценку: ___________________ (____________) Преподаватель: _________________ / _________________/ подпись Фамилия И.О. Дата: «» 2016__ г.

 

БАНК ЗАДАНИЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ПИСЬМЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ.

 

ТЕМА: «ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»

Теоретические сведения:

При решении логарифмических уравнений используется следующее утверждение:

если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда

Примеры решения уравнений:

Решение:

Задания по теме:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

 

ТЕМА: «РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Теоретические сведения:

При решении показательных уравнений пользуются следующим свойством показательной функции: если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Примеры решения уравнений:

Решение:

 

 

Задания по теме:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

ТЕМА: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ»

Справочный материал

Механический смысл производной: Геометрический смысл производной:
f '(x₀) = tgα = к

 

Уравнение касательной:
  Таблица производных

 

Вычислите производные функций:

Вариант 1 1. 2. 3. 4. Вариант 2 1. 2. 3. 4. Вариант 3 1. 2. 3. 4.
Вариант 4 1. 2. 3. 4. Вариант 5 1. 2. 3. 4.  

 

ТЕМА: «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНОЙ»

Теоретические сведения:

При исследовании и построении графика функции с помощью производных необходимо:

1. Найти область определения функции: допустимые значению х. если функция представлена в виде дроби, то необходимо определять при каких значениях х знаменатель дроби не может равняться нулю.

2. Найти область значений функции, допустимые значения у. Значения у зависят от х.

3. Определить является ли функция четной (нечетной), функцией общего вида. - функция четная; - функция нечетная.

4. Определить точки пересечения с осями координат (если это возможно).

Заданную функцию следует приравнять к нулю, тогда получается точки пересечения с осью ОХ (х1; 0) (х2; 0) и т.д.

В заданную функцию подставить вместо х ноль и вычислить у, тогда получится точка пересечения с осью Оу (0; у)

5. Найти асимптоты графика функции. Чтобы определить асимптоты для дробной функции необходимо:

Найти значения х, при которых знаменатель не может быть равен нулю. В этих точках должны проходить вертикальные асимптоты вида х=а.

Асимптоты – это ограничительные прямые линии на плоскости ХОУ, к которым стремится график функций при неограниченном удалении от начала координат точки О (0;0).

Для асимптот других видов применяют вычисление пределов заданной функции.

6. Исследовать функцию на экстремум, монотонность с помощью первой производной у (х). Если на промежутке [а; в] у1<0, то функция убывает, если у1> 0, то функция возрастает.

Если при переходе через точку х=а у1 меняет знак с «-» на «+», то исследуемая точка – точка минимума (хmin).

Если при переходе через точку х=а у меняет знак с «+» на «-», то исследуемая точка – точка максимума (хmax).

Значение функции в точках экстремума находят путем подстановки хmax и хmin в выражение функции у=f(х).

7. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба с помощью второй производной у11. Вторую производную находят от первой: у11=(у1)1 по правилам и формулам дифференцирования. Если на промежутке [а; в] у11> 0, то на этом промежутке функция имеет вогнутость графика «вниз», если на промежутке [а; в] у11< 0, то на этом промежутке функции имеет выпуклость графика «вверх». Точка х=а, около которой у11 меняет знак с «-» на «+» и наоборот, называется точкой перегиба графика функции.

8. Найденные значения точек экстремума, перегиба занести в таблицу. В таблицу добавить точки находящиеся около точек хmax, хmin, х перегиба и рассчитать значение у = f(x) в этих точках.

 

х   хmax   хmin х перегиба      
у                

 

9. По полученным результатам построить график функции.

 

Пример исследования и построения графика функции с помощью производной

Пример: Построить график функции: у=х3 - 2х2 + х

Решение:

1. Область определения: х любое действительное число (х ).

2. Область значения: у- любое действительное число (х ).

3.

Функция ни четная, ни нечетная

4. у=0 х3-2х2+х=0

х (х2-2х+1)=0

Или

В точках с координатами (0; 0); (1; 0) график функции у=х3-2х2+х пересекает ось Ох.

Х=0 у(0)=03-2

В точке с координатами (0; 0) график функции пересекает ось Оу.

 

5. График данной функции непрерывен, поэтому асимптот не имеет.

6.

Стационарные точки х1=1;

 

Стационарные точки – это те значения х, при которых у/=0.

+
-
+
У1

х
у 1

Здесь применяется формула разложения квадратичного выражения на множители.

, где и метод интервалов. Экстремумы: хmax=

Xmin=1

Значение функции в точках экстремума:

 

7.

-
+
 
У11

 

х
у х - точка перегиба

8.

х -2 -1      
у -18 -4   0,2 0,1    

 

 


9.

 
 
 
 
- 2
- 1
- 1
- 4
- 18
- 10
х
у

 

 

 


Задания по теме:

1. Найти экстремумы графика функции (максимум и минимум)

а) у = х б) у = -

в) у = - х г) у = х

д) у = 3х е) у = х

2.Найти промежутки монотонности функции (промежутки возрастания и убывания)

а) у = б) у = х

в) у = 0,25 х г) у = -х

д) у = 6х – х е) у = х

3.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке:

а) у = б) у = х

в) у = х г) у =

4.Найти точки перегиба:

а) у = х б) у = -

в) у = 0,25 х г) у = - х

д) у = 6х - х е) у = х

5.Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

6)

7)

8)

9)

10)

 

Тема: «СТЕРЕОМЕТРИЯ»

1. Тема: «Сфера. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Площадь сферы»

Теоретические сведения:

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Диаметр равен 2R.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром в точке С(x0, y0, z0) имеет вид:

Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости α – буквой d.

Возможны три случая:

1) d<R. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Сечение шара плоскостью есть круг.

2) d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиуса сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

3) d>R. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Площадь сферы:

Объем шара:

Задания по теме:

1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке О, если а) R=2, О(1,5,9) б) R=4, О(-4,0,2), в) R=5, О(0,0,-1), г) R=1, О – начало координат.

2. Найти площадь сферы, если а) R=1, б) R=0,5, в) R=10

3. Найти площадь сферы, которая задана уравнением

4. Заполнить таблицу

Радиус сферы R Площадь сферы S Координаты центра O Уравнение сферы
R=8   (1,5,10)  
  S=36π (8,-7,-1)  
     
R=2   О – начало координат  
     

 

2. Тема: «Взаимное расположение прямых и плоскостей»

Теоретические сведения:

 


 


Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярная к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим плоскость π и точку M, не принадлежащую этой плоскости. Из точки M проведём прямую, перпендикулярную плоскости π и пересекающую её в точке N. Отрезок MN называется перпендикуляром, проведённым из точки M к плоскости π. Точка N называется основанием этого перпендикуляра. Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна этой плоскости, то такая прямая называется наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Задачи по теме:

1. На рисунке точки М, Е, Р и О – середины отрезков КВ, КС, АС и АВ. Найти периметр четырехугольника МЕРО, если АК=16, ВС=20.

 

 

2. Точка К не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, Р и Е – середины отрезков КА, КВ, КС. Точка о лежит на отрезке ВР. Выяснить взаимное расположение прямых РК и АВ, ЕО и ВС, МР и АВ, МЕ и АС, МК и ВС.

3. В треугольнике АВС с прямым углом С, АС=8, ВС=10, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СР, перпендикулярная к плоскости треугольника, СР=16. Найти РМ.

 

 

3. Тема: «Углы между прямыми и плоскостями»

Теоретические сведения:

Угол между прямыми: Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из углов, то можно найти и три других угла. Пусть α – угол между пересекающимися прямыми.

Пусть АВ и СК – две скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку М проведем прямые А1В1 и С1К1, параллельные прямым АВ и СК. Если угол между прямыми А1В1 и С1К1, равен φ, то φ – угол между скрещивающимися прямыми АВ и СК.

Угол между прямой и плоскостью: Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Двугранный угол: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Все линейные угла двугранного угла равны. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90° (меньше 90°, больше 90°).

Задачи по теме:

1) Прямые ОВ и СК параллельные, а ОА и СК – скрещивающиеся прямые. Найти угол между прямыми ОА и СК, если

2) В тетраэдре ЕАВС в основании которого равносторонний треугольник АВС, ребра ВА и ВС разделены точками К и М, в отношении 2:1, считая от вершины В. Найти угол между плоскостью основания АВС и плоскостью ЕКМ.

3) Основание тетраэдра ЕАВС - равносторонний треугольник АВС, ребра СА и СВ разделены точками К и М, в отношении 2:1, считая от вершины С. Найти угол между плоскостью основания АВС и плоскостью ЕКМ.

 

 

4. Тема: «Тетраэдр и параллелепипед»

Теоретические сведения:

Тетраэдр Параллелепипед
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку К, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку К отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники КАВ, КВС и КСА. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, КАВ, КВС и КСА, называется тетраэдром и обозначается КАВС. Рассмотрим два равных параллелограмма АВСК и А1В1С1К1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1, КК1 параллельны. Четырехугольники АВВ1А1, ВСС1В1, СКК1С1, КАА1К1 также являются параллелограмма, т.к. каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСК и А1В1С1К1 АВСК и А1В1С1К1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СКК1С1, КАА1К1 называется параллелепипедом и обозначается АВСКА1В1С1К1
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Одна из граней тетраэдра называется основанием (АВС), а три другие – боковыми гранями. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали. Две противоположные грани называют основаниями, а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.
  1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны равны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

 

Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. 2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. 3. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. 4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

 

Задачи по теме:

1) В прямоугольном параллелепипеде АВСКА1В1С1К1 КК1=7, АВ=14, ВС=14. Найти длину диагонали АС1.

2) В прямоугольном параллелепипеде АВСКА1В1С1К1 ВК1=5, СС1=3, В1С1= . Найти длину ребра АВ.

3) В тетраэдре КАВС, М – середина ребра АВ. Треугольник АВС – правильный. Площадь треугольника КАВ=12 см2. Найти длину отрезка КМ.

4) Основание тетраэдра КАВС – правильный треугольник АВС. Р – середина ребра АВ, ВС=5, КР=6. Найти площадь треугольника КАВ.

 


 

5. Тема: «Цилиндр. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра»

Теоретические сведения:

Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

Круги с центрами О и О1 – основания цилиндра.

AD=BC=l – образующая. Длина образующей называется высотой цилиндра, радиус основания – радиус цилиндра.

АО=DО=R; АВ=DС=D – диаметр

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник АВСD. Развертка цилиндра – прямоугольник и два круга.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Sбок.=2πrh

Sполной поверхности=2πr(r+h)

V=S0h=πr2h

 

А О В   D О1 С

Задачи по теме:

1. Найти площадь боковой и полной поверхностей цилиндра, если его высота равна 6, а радиус равен 4.

2. Найти радиус цилиндра, если известно, что он в два раза меньше высоты, а площадь боковой поверхности цилиндра равна 36π см2.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21π, а диаметр основания равен 7. Найти высоту цилиндра.

4. Найти радиус и высоту цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 12π см2, а площадь полной поверхности равна 20π см2.


6. Тема: «Конус. Площадь боковой и полной поверхностей конуса»

Теоретические сведения:

Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.

Точка В – вершина конуса. Круг с центром О – основание конуса. АВ=ВС=l – образующая. ВО=h – высота конуса. ВО=ОС=R – радиус основания. АС=2R – диаметр основания. Осевое сечение – треугольник АВС.

Развертка конуса – сектор круга и круг.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки.

, α – градусная мера угла развертки.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей боковой поверхности и основания

 

 

В   А О С

Задачи по теме:

1. Найти диаметр конуса, если его высота равна 4 см, а образующая 5 см.

2. Найти площадь боковой и полной поверхностей конуса, если радиус в три раза меньше образующей и равен 5 см.

3. Найти площадь полной поверхности конуса, если его радиус равен 10 см, а площадь боковой поверхности 80π см2.

 

4. Заполните таблицу

r l Sбок. Sполн.конуса
       
    20π  
    60π  
      100π
      30π
    35π 60π

7. Тема: «Усеченный конус. Площадь боковой и полной поверхностей усеченного конуса»

Теоретические сведения:

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и параллельным основанию сечением конуса.

Круги с центрами О и О1 – основания (верхнее и нижнее) усеченного конуса.

АО1=r, DО=R=r1 – радиусы оснований.

АD=l – образующая. ОО1 – высота – расстояние между плоскостями оснований.

Осевое сечение – трапеция АВСD.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

A O1 B D O C

Задачи по теме:

1. Найти образующую усеченного конуса, если его высота равна8 см, а радиусы оснований равна 13 см и 7 см.

2. Найти площадь боковой и полной поверхностей усеченного конуса, если его радиусы равны 10 см и 15 см, а его образующая равна 18 см.

3. Найти площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиус нижнего основания равен длине образующей и равен 8 см, а площадь боковой поверхности равна 104π см2.

8. Тема «Векторы»

1. Найдите, при котором длина вектора равна .

2. Найдите, при котором длина вектора равна .

3. Пусть , , тогда значение будет равно при равном?

4. Пусть , , тогда значение будет равно при равном?

 

5. Вычислите скалярное произведение векторов и , для которых , , .

6.. Вычислите скалярное произведение векторов и , для которых , , .

7. Вычислите угол между векторами и .

8. Вычислите угол между векторами и

9. Найдите координаты точки середины отрезка при условии , .

10. Даны точки , . Точка делит отрезок в отношении при равном?

 

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1) Башмаков М.И. Математика: учебник для учрежд. нач. и сред. проф. образования. – М.: «Академия», 2015.

2) Башмаков М.И. Математика: задачник для образоват. учрежд. нач. и сред. проф. образования. – М.: «Академия», 2015.

3) Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2015.

4) Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2015.

5) Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов. —М.: Дрофа, 2015. —395с.


<== предыдущая | следующая ==>
Периодичность ТО автомобилей | Глава I Введение в психологическое консультирование

Date: 2016-07-05; view: 1007; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.012 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию