Тепловые коэффициенты и тепловые сопротивления

Теплообмен кондукцией происходит согласно закону Фурье: плотность теплового потока q прямо пропорциональна градиенту температуры, т. е.

где l — коэффициент теплопроводности материала; — градиент температуры.

Напомним, что за положительное направление градиента температуры принимают направление, в котором температура возрастает.

Запишем закон Фурье для некоторой изотермической поверхности S _l, находящейся между поверхностями i и j (рис. 1). Буквой l обозначена координата поверхности S_l, отсчет ведется от какой-либо точки 0, координатная линия l совпадает с линией тока. Тогда выражение (3) можно записать в виде

где Р (l) — величина потока, через изотермическую поверхность S (l).

Произведем интегрирование последнего выражения от t_i до t_j:

где l_i и l_j — координаты изотермических поверхностей i и j.

Если между изотермическими поверхностями i и j отсутствуют стоки или источники энергии, то Р (l) не изменяется на пути между этими поверхностями, т. е. Р (l) =P_i = const, то F_ij - называется тепловым сопротивлением, обозначается R _ij и выражение (6) приобретает вид

Заметим, что источниками энергии могут быть дискретные или распределенные между i и j источники джоулева тепла; стоки энергии могут быть обусловлены эффектом Пельтье, химическими реакциями и т. п. К стокам энергии можно также отнести потери тепла на границах тела между изотермами i и j.

Величина, обратная тепловому сопротивлению, называется тепловой проводимостью:

(8)

Если S, λ = const, то

Известная зависимость для теплового потока в конечных разностях принимает вид:

или разность температур можно найти как

3. Уравнения теплопроводности и краевые условия.

Предположим, что температурное поле изменяется только в направлении x (рис.2).

Рассмотрим элементарный объем dV = S * dx, где S – площадь, а dx – толщина элементарного объема. (Например, участок электрического кабеля). Пусть q ₁ –плотность теплового потока в сечении x, а q ₂ -в сечении x+dx; если dx мало, то в первом приближении изменение теплового потока в направлении оси x описывается двумя членами разложения q ₁ в ряд Тейлора:

Сформулируем закон сохранения энергии для рассматриваемого элемента.

где q _v- объемная плотность теплового потока, Вт/м³; c _p- удельная теплоемкость при постоянном давлении; ρ – плотность материала;

Для анизотропного тела в направлении осей x, y, z теплопроводности λ _x, λ _y, λ _z имеют различные значения и дифференциальное уравнение принимает вид

где a=λ/(c_p ρ)- коэффициент температуропроводности вещества;

В стационарном режиме (∂t/∂ τ=0) уравнение принимает вид

Если внутренние источники тепла отсутствуют, то

Путем преобразования системы координат дифференциальное уравнение для анизотропных тел (14) можно записать в форме (15).

В зависимостях (18) λ - так называемая базовая теплопроводность, выбор которой произволен; обычно за λ принимают одно из трех значений теплопроводностей: λ_x, λ_y, или λ_z. Произведем некоторые преобразования и подставим новые значения координат (18) в уравнение (15)

Краевые условия. Для решения дифференциального уравнения необходимо задать условия однозначности. Они включают в себя:

- граничные условия (ГУ), определяющие характер тепловых связей рассматриваемого тела с соседними телами и средой;

- в случае нестационарной задачи (∂ t /∂τ ≠0) необходимо знать начальные условия, т.е значение температурного поля t₀ (x, y, z) в начальной точке времени τ = τ₀ рассматриваемого процесса.

Существует четыре вида ГУ.

· ГУ 1 рода (задача Дирихле). Задается распределение температур на поверхности тела для каждого момента времени t _s = f(x, y, z, τ ). В частном случае t _s = const.

·

где -λ(∂t / ∂n) - плотность теплового потока, уходящего вглубь тела.

· ГУ 3 рода. Задана температура окружающей среды t _c и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. На основании закона Ньютона - Рихмана плотность теплового потока на границе тело-среда

·

4. Конвективный перенос тепла. Основы теории подобия.

Теплообмен между поверхностью S твердого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой подчиняется закону Ньютона—Рихмана:

где Р_ic —тепловой поток от поверхности твердого тела к среде;

S_i — площадь поверхности теплообмена тела; α_ic — коэффициент теплообмена между поверхностью тела и средой; t_i и t_c — температуры поверхности тела и среды.

Вспомним, что t_i — t_j = F_ijP_i, отсюда находим структуру теплового коэффициента F_ic = 1 / α_ic S_i. Если между поверхностью тела и окружающей его средой отсутствуют источники или стоки энергии, то величина теплового потока Р_ic при движении от изотермической поверхности с температурой t_i к среде с температурой t_j не изменяется и поэтому F_ic можно считать тепловым сопротивлением, т. е.

Вся сложность процесса конвективного теплообмена концентрируется в одной величине — коэффициенте теплоотдачи α, который представляет собой функцию большого числа параметров, существенно влияющих на процесс теплообмена. Прежде всего конвективный теплообмен оказывается связанным с движением самой жидкости, т. е. с гидродинамическим процессом.

В 1883 г. английский ученый Осборн Рейнольдс показал, что существуют два основных режима движения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном движении отдельные струи потока располагаются параллельно друг другу, тогда как при турбулентном они хаотически переплетены друг с другом.

На рис. 1, а схематически показана модель движения жидкости вдоль пластины, включающая два режима течения — ламинарный и турбулентный. На переднем участке пластины х < х _кр образуется ламинарный гидродинамический пограничный слой толщиной δ_л(x). Гидродинамическим пограничным слоем называют пристенный слой жидкости толщиной δ, в котором происходит изменение скорости движения жидкости от нулевой (на поверхности тела) до значения V₀— скорости основного потока жидкости.

Рис. 1. Структура пограничного слоя: а — обтекание пластины потоком жидкости; б — течение жидкости в трубе

Переход из турбулентного течения в ламинарное и обратно количественно характеризуется так называемым числом Рейнольдса — Re. Например, при обтекании пластины при значении числа Рейнольдса Re = V L /ν >5*10⁵ возникает турбулентность.

Типичные модели конвективного теплообмена — это движение жидкости вдоль пластины, свободная конвекция у вертикальной пластины, течение жидкости в канале.

Как только x ≥x _крстановится больше критической, движение в слое становится неупорядоченным, вихревым; образуются турбулентный пограничный слой толщиной δ_т и ламинарный подслой толщиной δ_п.

У внутренней поверхности трубы образуется пограничный слой, толщина которого у входного края трубы равна нулю, а затем постепенно возрастает, как это показано на рис. 1, б. На определенном расстоянии х>l_н от входа пограничный слой утолщается настолько, что заполняет все сечение, начинается область стабилизированного течения. Кривая распределения скорости потока по сечению канала имеет форму параболы 1 (ламинарное движение) либо более сложной выпуклой кривой 2(турбулентное движение). Для. стабилизированного потока, как будет показано ниже, при Re = V d /ν ≥2300 ламинарное течение переходит в турбулентное.

Ниже для различных случаев теплообмена приведены значения коэффициентов теплоотдачи α: