Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница)

Определение. Пусть функция задана на отрезке , является непрерывной на и имеет на нём первообразную . Разность называют определённым интегралом функции по отрезку и обозначают

.

Здесь называют нижним пределом интегрирования, — верхним пределом.

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница. Она устанавливает связь между неопределённым и определённым интегралами.

Определённый интеграл есть число. Числовое значение определённого интеграла зависит от вида функции , стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции, образованной осью Ox, графиком функции и прямыми линиями (Рис.40)

Рис.40.

Определение. Если существует определенный интеграл , то говорят, что функция интегрируема на отрезке .

Теорема (о достаточных условиях интегрируемости). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке за исключением конечного числа точек, в которых она терпит разрыв первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.