Классическая вероятность.

Множества.

Подготовиться к самостоятельной работе.

Повторите понятия: множество, подмножество, равные множества.

Какие операции над множествами вы знаете? Как изобразить их кругами Эйлера?

Как изображается декартово произведение числовых множеств на координатной плоскости?

Комбинаторика. (См. отдельный файл).

1) Повторите все правила и формулы комбинаторики.

2) Вспомните решения задач 1, 2 и 3-ей групп.

Сравните задачи 2 и 3 групп.

Какие комбинаторные соединения здесь участвуют?

3) Сравните задачи 3-ей и 4-ой групп. В каких задачных ситуациях учитывается порядок следования элементов, а в каких – нет? Какие комбинаторные соединения соответствуют тем и другим ситуациям?

Оформите решения задач 4 группы, используя необходимые формулы.

4) Рассмотрите задачи 5 группы.

Чем отличаются ситуации в задачах 1а) и 1б)?

Какое правило комбинаторики необходимо применить при решении задач 5 группы?

Оформите решения задач 5 группы, используя необходимые формулы.

5) Сравните задачи 7 группы. Сравните их решение.

В чём отличие 1-ой и 2-ой задач?

Оформите решения задач 1 и 2 этой группы, используя необходимые формулы.

Чем похожи задачи 2-я и 3-я?

Какое правило используется в третьей задаче?

Как решить задачу 3?

Классическая вероятность.

1) Ознакомьтесь с задачами 1.- 3. и их решениями (См. ниже). Запишите их в тетрадь. Укажите общую формулу, с помощью которой они решены.

Примеры:

(формула классической вероятности)

Задача 1. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

Решение. Это испытание имеет 18 равновозможных исходов. Каждый исход означает выбор одного шара.

Пусть событие А означает выбор красного шара. Число исходов, благоприятных событию А, равно 10.

Итак, т(А) = 10, п = 18 и .

Задача 2. Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что выпадут и решка, и орел.

Решение. Обозначим событие, состоящее в выпаде­нии орла, буквой О, решки — буквой Р.

Испытанием здесь является двукратное подбрасывание монеты.

Всего может быть 4 исхода: OO, РР, ОР, РО, поэтому п = 4.

Событие А, состоящее в выпадении и орла, и решки, име­ет два благоприятных исхода: РО и ОР. Следовательно, т(А) = 2, п = 4 и Р(А) = .

Задача 3. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Их них 15 выигрывают по 50 000 руб., 25 — по 10 000 руб., 60 — по 5000 руб. Играющий приобрел один билет.

Какова вероятность выиграть не менее 10 000 руб.?

Решение. Испытание состоит в выборе наугад одного билета из 1000. Поэтому число всех равновозможных исходов п = 1000.

Пусть событие А состоит в том, что участник лотереи приобрел билет, который выигры­вает либо 5000, либо 10 000 рублей. Число всех таких билетов равно т(А) = 40. Поэтому

2) Пользуясь формулой классической вероятности, решите задачи №№ 4, 5, 8, 9.

Задачи.

4. Сколькими способами могут сесть в ряд музыканты из квартета в басне И.А.Крылова (проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка)? Какова вероятность того, что Мартышка окажется перед Мишкой? (Событие М)

5. Автомобильный номер состоит из 3-х букв русского алфавита и 3-х цифр, причем буквы и цифры в нем могут повторяться. Сколько различных номеров можно составить таким образом? (Буквы й, ё, ь, ъ не используются).

Какова вероятность того, что в автомобильном номере цифра 7 будет встречаться только один раз?

6. Наудачу взяли двузначное число.

Сколько всего существует двузначных чисел?

Сколько двузначных чисел имеют в записи только одну цифру 6?

Сколько двузначных чисел имеют в записи хотя бы одну цифру 6? Какова вероятность того, что выбранное число имеет в записи хотя бы одну цифру 6?

7. Сколько всего двузначных чисел, у которых обе цифры: а) четные; б) нечетные? Какова вероятность того, что выбранное число имеет в записи обе цифры:

а) четные;

б) нечетные?

8. Куб, все грани которого окрашены, распилили на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешали. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.

9. В ящике лежат 5 деталей, одна из которых нестандартная. Наудачу извлекают две детали. Найти вероятность того, что обе они стандартные.

10. В одной урне - 6 белых и 4 черных шара, а в другой - 7 белых и 3 черных.

Из каждой урны наугад вынимаем по одному шару. Найти вероятность того,

что: а) оба шара белы е; б) шарики разных цветов.

11. Из урны, в которой имеется 6 белых и 4 черных шара, извлекают наудачу три шара. Найти вероятность того, что:

а) все три шара будут белыми;

б) все три шара будут одного цвета;

в) только один шар будет черным.

Указание: для нахождения п и т в задачах на вероятность часто удобно использовать комбинаторные подходы.