Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Приложения формул Тейлора и Маклорена.

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

КУРС ЛЕКЦИЙ

По дисциплине «Математика» 2 семестр

Для студентов заочной формы обучения

Раздел №1 «Приложения производной»

 
 


Волгодонск

 

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма.

Пусть функция определена и дифференцируема

На интервале (a;b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда.

Доказательство:

По определению производной:

.

Пусть для определенности в точке функция принимает набольшее значение. Тогда числитель .

Рассмотрим два случая:

1) .

По теореме о предельном переходе в неравенствах: предел дроби меньше нуля Þ .

2) .

.

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ферма:

Так как , то угловой коэффициент касательной равен нулю Þ касательная параллельна оси ОХ.

 

Теорема Ролля.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения . Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. .

Доказательство:

Т.к. функция непрерывна на отрезке [a;b], то по II-й т. Вейерштрасса о непрерывных функциях принимает на [a;b] наибольшее М и наименьшее m значения. y

Возможны два случая:

1) М=m.

2) М m.

y

 

 

Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b].

В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная .

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Þ Ккас=0 Þ касательная

в точке c параллельна оси ОX.

 

 

Теорема Лагранжа.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию .

Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что .

.

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

 

.

Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:

.

Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].

 

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: .

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию:

.

непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

Þ существует точка сÎ(a;b): .

; .

.

.

Ч.т.д.

 

 

Правило Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0, и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

Доказательство:

Доопределим f(x) и g(x) в точке x0, положив

f(x0) = g(x0) = 0.

В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что

, т.к. f(x0) = g(x0) = 0.

Перейдем к пределу при x x0 с x0:

.

Ч.т.д.

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1¥), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа , .

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

.

.

Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn).

.

Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.

 

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (00), (1¥), (¥0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

.

= = =(0×¥)= = = =

= =0;

Þ A=e0=1.

 

 

Формулы Тейлора и Маклорена.

 

Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что

, ,,…, .

Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .

Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:

.

Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.

Найдем производные от :

;

;…

.

Подставляя вместо , находим:

, , , , …, . Отсюда

Þ , , , ,…, .

Искомый многочлен будет иметь вид:

, или

.

Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.

Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0. Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора:

+

+ .

Здесь некоторая точка, заключенная между и (), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.

Доказательство:

Обозначим через многочлен

.

Ясно, что для каждого выбранного существует такое число , для которого будет выполняться равенство:

. (1)

Покажем, что это число при уже выбранном будет равно при некотором из промежутка .

Определим функцию

.

Ясно, что

Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке () будет выполняться равенство: .

Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех выполняются равенства:

(2)

Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке

[ ] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции на промежутке [ ] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство .

Утверждение доказано.

Если x0=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

+

Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:

 

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

 

1. .

Þ ,

где .

 

2. .

Þ ,

где .

 

3. .

,…

Þ ,

где .

Пример:

Разложить функцию по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.

Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на

(-x):

.

.

 

Приложения формул Тейлора и Маклорена.

 

Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , , и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

Поскольку , то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: . Следовательно,

.

Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ().

Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.

 

Признаки монотонности функции.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется ().

Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется ().

Теорема 1.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. , и достаточно, чтобы .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть f(x) возрастает на (a;b). Тогда для любых выполняется .

Þ Þ .

По определению производной: .

Достаточность.

Пусть на (a;b). f(x) дифференцируема на (a;b). Выберем на этом промежутке 2 точки х1; х2.

Тогда на (х1; х2) выполняется условие теоремы Лагранжа:

существует точка с Î(х1; х2) такая, что .

Þ (т.к. ).

Þ . Þ возрастает на (a;b).

Ч.т.д.

Теорема 2.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке и достаточно, чтобы .

Доказательство проводится аналогично.

Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции .

.

.

Þ .

Экстремум функции.

Пусть функция определена в окрестности точки x0.

Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство .

x0 — max.

Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство .

x0 — min.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

 

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Если функция , дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная .

Доказательство:

Пусть для определенности точка x0 — max.

Тогда по определению существует такая ее окрестность , в которой выполняется неравенство < .

Т.о. на интервале в точке x0 функция принимает наибольшее значение .

Тогда по теореме Ферма: .

Аналогично доказывается для минимума функции.

Ч.т.д.

Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная не существует.

Точки, в которых производная либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.

Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.

Замечание 2. Функция имеет экстремум только в критических точках.

Достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена в критической точке x0 и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x0. Если «при переходе» через точку x0 слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство:

Пусть производная меняет знак с «+» на «-».

Тогда слева от х0, т.е. на (х0-δ,х0) .

Þ слева от х0 функция возрастает.

Справа от х0, т.е. на (х0, х0+δ) .

Þ справа от х0 функция убывает.

Т.о. в окрестности точки х0 выполняется

неравенство .

х0 – точка локального максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . Þ , .

x (-∞;1) x=1 (1;3) x=3 (3;+∞)
+     +
возрастает max убывает min y(3)=1 возрастает

б) .

1. Область определения функции D(y): x¹-1.

2. ;

.

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ нет точек;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x (-∞;-1) x=-1 (-1;+∞)
+ не существует +
возрастает не существует возрастает

Точек экстремума нет.

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и имеет внутри этого промежутка конечную производную.

Тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Очевидно, что эти значения могут достигаться либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции применяют следующий алгоритм решения:

1. Находим критические точки функции. Отбираем те точки, которые принадлежат данному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в найденных точках.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной второго порядка.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Теорема.

Пусть существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть . Если , то в точке функция имеет максимум; если , то в точке функция имеет минимум.

Доказательство:

Докажем для максимума.

Пусть . Пусть .

Так как, по условию, непрерывна в некоторой окрестности точки , то найдется некоторая окрестность , во всех точках которой вторая производная будет отрицательна.

Так как есть производная от первой производной, т.е. , то из условия следует, что убывает на промежутке, содержащем точку , т.е. в окрестности .

Так как , Тогда слева от , т.е. на (х0-δ,х0) имеем , а справа от , т.е. на (х0, х0+δ) имеем , т.е. производная «при переходе» через точку x0 слева направо меняет знак с плюса на минус. А это значит, что точка – точка максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Если в критической точке , то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование проводится с помощью первой производной.

Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . , Þ , .

3. .

x x=-1 x=3
-12  
max y(-1)=12 min y(3)=-20

б) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . Þ .

3. .

x (-∞;0) x=0 (0;+∞)
     
+  
возрастает max y(0)=1 возрастает

Выпуклые и вогнутые функции.

Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b). Тогда на этом интервале в каждой точке графика функции существует касательная, причем не параллельная оси OY.

Определение: Функция называется выпуклой, если ее график лежит над любой касательной, проведенной к этому графику.

Определение: Функция называется вогнутой, если ее график лежит под любой касательной, проведенной к этому графику.

На разных участках промежутка функция может быть выпуклой или вогнутой.

Признак выпуклости.

Пусть функция имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если , то функция выпукла на промежутке (a;b). Если , то функция вогнута на промежутке (a;b).

Доказательство:

Пусть для определенности на (a;b) .

Возьмем точку x0Î(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0:

(1)

Разложим функцию в окрестности точки x0 по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член:

, (2)

Вычтем (2) - (1):

.

на (a;b) .

График функции проходит над касательной.

Тогда по определению: функция выпукла.

Вогнутость доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Замечание: Условие () является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций.

Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба функции.

Пусть функция в точке x0 имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль или не существует.

Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y²=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба функции.

Пусть непрерывна в окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Если «при переходе» через меняет знак, то точка — точка перегиба.

Доказательство:

Пусть «при переходе» через точку меняет знак с «+» на «-».

 
 


Тогда слева от точки — функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка — точка перегиба.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на перегиб. .

D(y)=R.

; .

Критические точки второго рода:

: ;

не существует: точек нет.

При переходе через точки вторая производная меняет знак.

Þ — точки перегиба.

 

Асимптоты графика функции.

Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если .

Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: .

Оказывается, что если является асимптотой, то и в уравнении определяются следующим образом , .

Доказательство:


По определению асимптоты: если ОМ , то |MN| 0.

Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. .

По чертежу: .

Перейдем к пределу при x→±∞:

(*)

Þ .

.

Из (*) Þ .

Ч.т.д.

Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.

Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.

Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.

Пример: Найти асимптоты графика функции .

D(y): x¹3.

Þ x=3 – точка разрыва.

— вертикальная асимптота.

= ;

= = = =3 Þ .

Þ — наклонная асимптота.

Схема полного исследования функции.

1. Определить естественную область D(y) определения функции.

2. Исследовать на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти асимптоты.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости графика, точки перегиба.

7. Построить график функции.

 

Пример:

Провести полное исследование и построить график функции .

1. Область определения функции D(y): x¹1.

2. Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с 0x: y=0 Þ Þ x=0 Þ точка (0, 0) – точка пересечения с осями.

4. x=1 – точка разрыва.

Вертикальная асимптота:

— вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота: .

= ;

= = =1 Þ .

— наклонная асимптота.

5. = = .

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ , ;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x (-∞;0) x=0 (0;1) x=1 (1;2) x=2 (2;+∞)
+   не существует   +
возрастает max y(0)=0 убывает не существует убывает min y(2)=4 возрастает

6.

.

Критические точки второго рода:

, т.е. числитель равен нулю Þ точек нет;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ Þ точек перегиба нет, т.к. x=1ÏD(y).

x (-∞;1) x=1 (1;+∞)
не существует +
вогнута не существует выпукла

7. График функции:

 


<== предыдущая | следующая ==>
Дети СОЛО девочки модерн | Мужественный поступок

Date: 2016-11-17; view: 878; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию