Справочные данные для выполнения РГР - 1

В разветвленной электрической цепи, имеющей один источник ЭДС (напряжения) и смешанное соединение элементов, для расчета токов в ветвях обычно используют метод преобразования сопротивлений, заключающийся в том, что данная схема цепи последовательно заменятся эквивалентной с одним общим сопротивлением, затем определяется ток источника (входной) и распределяется по ветвям при последовательном “развертывании” схемы.

Существуют следующие характерные схемы соединения пассивных элементов: последовательное, параллельное, смешанное.

Последовательное (рис.1, а) - самое простое, при таком соединении через все элементы протекает один и тот же ток I.

а	б

Рис. 1

На основании 2-го закона Кирхгофа напряжение на зажимах цепи из n последовательно соединенных элементов будет равно сумме падений напряжений на n элементах, т. е.:

U = U ₁ + U ₂ +…+ U_n

или

U = R ₁ I + R ₂ I +…+ R_nI = (R ₁ + R ₂ +…+ R_n) I = R _экв I,

где R _экв равно сумме всех сопротивлений схемы (рис. 1, б).

Ток определяется по закону Ома:

I = U / R _экв.

Так как при последовательном соединении ток во всех элементах одинаков, то отношение падений напряжений на элементах равно отношению сопротивлений этих элементов: U _к/ U_n = R _к/ R_n.

Параллельное соединение (рис. 2, а) такое, при котором ко всем элементам цепи приложено одно и то же напряжение и каждый параллельно включенный элемент образует отдельную ветвь.

а б

Рис. 2

Для такой цепи на основании 1-го закона Кирхгофа можно записать:

I = I ₁ + I ₂ +…+ I_n.

Так как ток в каждой ветви равен: I _к = U / R _к = G _к U (закон Ома), где
G _к = 1/ R _к - проводимость ветви, то

I = G ₁ U + G ₂ U +… G_nU = (G ₁ + G ₂ +…+ G_n) U = G _экв U,

где G _экв равна сумме проводимостей элементов.

Общая проводимость всегда больше проводимости любой части параллельных ветвей, а эквивалентное сопротивление для этого соединения всегда меньше меньшего и для двух параллельно соединенных элементов R ₁ и R ₂ вычисляется по формуле:

R ₁₂ = 1/ G ₁₂ = 1/(G ₁ + G ₂) = 1/(1/ R ₁ + 1/ R ₂) = R ₁ R ₂/(R ₁+ R ₂).

Поскольку при параллельном соединении ко всем элементам приложено одно и то же напряжение, а ток в каждой ветви пропорционален ее проводимости, то отношение токов в параллельных ветвях равно отношению их проводимостей или обратно пропорционально отношению их сопротивлений: I _к/ I_n = G _к/ G_n = R_n / R _к.

Смешанное соединение элементов представляет собой различное сочетание последовательного и параллельного соединений. Такая цепь может иметь различное число узлов и ветвей, например, схема на рис.3, а. Для расчета такой цепи необходимо последовательно определить эквивалентные сопротивления для тех частей схемы, которые представляют собой только последовательное или только параллельное соединение. Эквивалентное соединение параллельно соединенных элементов R ₃ и R ₄ равно: R ₃₄ = R ₃ R ₄/(R ₃ + R ₄).

а	б	в

Рис.3

Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов R ₁ и R ₂: R ₁₂ = R ₁ + R ₂.

Для последовательно соединенных элементов R ₁₂ и R ₃₄ (рис.3,б) эквивалентное сопротивление: R _экв = R ₁₂ + R ₃₄ (рис.3,в);

Ток I находим по закону Ома: I = U / R _экв (рис.3,а); это ток источника (входной) и ток в элементах R ₁ и R ₂ исходной цепи. Для расчета токов I ₃ и I ₄ определяем напряжение на участке цепи с сопротивлением R ₃₄: U ₃₄ = R ₃₄ I.

Тогда токи I ₃ и I ₄ можно найти по закону Ома:

I ₃ = U ₃₄/ R ₃; I ₄ = U ₃₄/ R ₄.

Эти токи можно также найти, используя соотношение:

U ₃₄ = IR ₃₄ = I ₃ R ₃ = I ₄ R ₄,

из которого с учетом значения R ₃₄ получаем:

I ₃ = IR ₄/(R ₃ + R ₄); I ₄ = IR ₃/(R ₃ + R ₄).

Подобным образом можно рассчитать различные схемы электрических цепей со смешанным соединением элементов.

Иногда встречаются схемы соединения элементов, в которых невозможно применение метода свертывания, так как их нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному соединениям. В таких случаях применяют специальные методы преобразований.

В некоторых схемах сложных разветвленных цепей часть схемы, образованная пассивными элементами, может напоминать по внешнему виду трехлучевую звезду (рис.4,а) или треугольник (рис.4,б). Эквивалентная (равносильная) замена пассивных элементов, соединенных треугольником, касающаяся только части схемы, может привести к упрощению схемы и облегчить ее расчет. В других случаях к такому упрощению может привести обратная замена.

Для перехода от соединения треугольником к соединению звездой используются формулы, позволяющие находить сопротивление лучей эквивалентной звезды:

R ₁ = R ₁₂ R ₁₃/(R ₁₂ + R ₂₃ + R ₃₁);

R ₂ = R ₂₃ R ₁₂/(R ₁₂ + R ₂₃ + R ₃₁);

R ₃ = R ₃₁ R ₂₃/(R ₁₂ + R ₂₃ + R ₃₁).

а б

Рис.4

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сторон треугольника, примыкающих к данному лучу, деленному на сумму сопротивлений всех сторон треугольника.

Переход от соединения звездой к треугольнику осуществляется по формулам:

R ₁₂ = R ₁ + R ₂ + R ₁ R ₂/ R ₃;

R ₂₃ = R ₂ + R ₃ + R ₂ R ₃/ R ₁;

R ₃₁ = R ₃ + R ₁ + R ₃ R ₁/ R ₂.

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений лучей звезды, соединяемых данной стороной треугольника, плюс произведение сопротивлений этих лучей, деленное на сопротивление третьего луча.

Если все три сопротивления ветвей звезды одинаковы, то и сопротивления ветвей эквивалентного треугольника равны друг другу, причем соотношения принимают вид:

R _треуг = 3 R _звез; R _звез = R _треуг/3.