Дробно-линейных функций

Функция вида , где и , называется дробно-линейной. Графиком этой функции является гипербола.

Частным случаем дробно-линейной функции является функция обратной пропорциональности . График этой функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. При гипербола расположена в первой и третьей четвертях, при – во второй и четвертой четвертях.

Пример 11. Постройте график функции .

Решение. Выделим целую часть дроби .

Таким образом, уравнение, которым задается график функции, примет вид . График заданной функции получается из графика функции сдвигом на 2 единицы по оси OX влево, растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигом на 1,5 единицы по оси OY вверх.

Заметим, что график функции не пересекает прямые и , хотя и приближается к ним достаточно близко. Такие прямые называются асимптотами графика функции. График дробно-линейной функции имеет две асимптоты – вертикальную и горизонтальную . Построение графика удобно начинать именно с нахождения асимптот: для нахождения вертикальной асимптоты приравниваем знаменатель дроби нулю, а для нахождения горизонтальной асимптоты выделяем целую часть дроби (рис. 34).

Построение графика произвольной дробно-линейной функции выполняется по алгоритмам, разобранным в примере 11.

Упражнения

8. Постройте графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

9. Постройте графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

10. Постройте графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

11. Постройте графики функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .