Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семьосновных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

(метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1.

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0,

sin x · cos x – sin ² x = 0,

sin x · (cos x – sin x) = 0,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x,

cos 4 x · (cos 2 x – cos 4 x) = 0,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0,

1). cos 4 x = 0, 2). sin 3 x = 0, 3). sin x = 0,

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степениотносительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородноеуравнение, надо:   а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan.   П р и м е р. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.   Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x,   sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0,   tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0, отсюда y 2 + 4 y +3 = 0,   корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

= 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2),

2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0,

tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0,

..........

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin (здесь - так называемый вспомогательный угол), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р. Решить уравнение: 2 sin 2 x · sin 6 x = cos 4 x.

Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x,

cos 8 x = 0,

8 x = p / 2 + p k,

x = p / 16 + p k / 8.

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3.

Таким образом, решение даёт только первый случай.