Обратные тригонометрические функции

Определения. Многозначность и главные значения

обратных тригонометрических функций.

Соотношение x = sin y позволяет найти как x по заданному y, так и y по заданному x (при | x | 1). Таким образом, можно рассматривать не только синус как функцию угла, но и угол – как функцию синуса. Этот факт может быть записан как: y = arcsin x (“arcsin” читается “арксинус”).Например, вместо 1/2 = sin 30° можно записать: 30° = arcsin 1/2. При второй форме записи угол обычно представляется в радианах: /6 = arcsin 1/2.

Определения. arcsin x – это угол, синус которого равен x. Аналогично определяются функции arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x. Эти функции являются обратными по отношению к функциям sin x, cos x,tan x, cot x, sec x, cosec x, поэтому они называются обратными тригонометрическими функциями. Все обратные тригонометрическиефункции являются многозначными функциями, то есть каждому значению аргумента соответствует бесчисленное множество значений функции. Так, например, углы 30°, 150°, 390°, 510°, 750° имеют один и тот же синус.

Главное значение arcsin x – это его значение, которое находится между - / 2 и + / 2 (- 90° и + 90°), включая границы:

– / 2 arcsin x + / 2.

Главное значение arccos x – это его значение, которое находится между 0 и (0° и + 180°), включая границы:

0 arccos x .

Главное значение arctan x – это его значение, которое находится между - / 2 и + / 2 (- 90° и + 90°) без границ:

– / 2 < arctan x < + / 2.

Главное значение arccot x – это его значение, которое находится между 0 и (0° и + 180°) без границ:

0 < arccot x < .

Если обозначить любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x и сохранить обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, то связь между ними выражается следующими соотношениями:

где k – любое целое число. При k = 0 мы имеем главные значения.