Примеры симметрии плоских фигур.

Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Его центр симметрии – точка пересечения диагоналей.

Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Её ось симметрии – перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции.

Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его ось симметрии – любая из его диагоналей; центр симметрии – точка их пересечения.

Круг имеет … Что вы можете сказать о видах симметрии круга?

Подобие тел

Подобные тела. Зеркально подобные тела и фигуры.

Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Автомобиль и его модель – подобные тела. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальномуотражению другого. Например, картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны.

В подобных телах многогранные и телесные углы равны; в зеркально подобных телах они зеркально равны.

Если два тетраэдра (две треугольные пирамиды) имеют соответственно пропорциональные рёбра (или соответственно подобные грани), то они подобны или зеркально подобны. Например, если грани первой пирамиды вдвое больше, чем у второй, то высоты, апофемы, радиус описанного круга первой пирамиды также вдвое больше, чем у второй. Эта теорема не имеет места для многогранников с бо’льшим числом граней. Предположим, что мы соединили все рёбра куба в его вершинах посредством шарниров; тогда мы можем изменить форму этой фигуры, не растягивая её стержни, и получить из начального куба параллелепипед.

Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом гранейподобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам. Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответ-ствующих отрезков.

Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых ихсоответ-ствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

П р и м е р. Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см вмещает 0.5 литра

воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмеща-

ющая 4 литра воды?

Объёмы и поверхности тел

Объёмы и поверхности тел: призма, параллелепипед, прямая
призма, прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида, правильная пирамида,
усечённая пирамида, правильная усечённая пирамида, круговой цилиндр,
круглый цилиндр, круговой конус, круглый конус, усечённый круговой конус,
усечённый круглый конус, шар, полушарие, шаровой сегмент,
шаровой слой, шаровой сектор, полый шар.

Обозначения: V – объём; S – площадь основания; S_бок – площадь боковойповерхности; P – полная поверхность; h – высота; a, b, c – размеры прямо-угольного параллелепипеда; A – апофема правильной пирамиды и правильной усечённой пирамиды; L – образующая конуса; p – периметр или длина окружности основания; r – радиус основания; d – диаметр основания; R – радиус шара; D – диаметр шара; индексы 1 и 2 относятся к радиусам, диаметрам, периметрам и площадям верхнего и нижнего оснований усечённой призмы и пирамиды.

Призма (прямая и наклонная) и параллелепипед:

V = Sh.

Прямая призма:

S_бок = ph.

Прямоугольный параллелепипед:

V = abc; P = 2(ab + bc + ac).

Куб:

V = a ³; P = 6 a ².

Пирамида (правильная и неправильная):

Правильная пирамида:

Усечённая пирамида (правильная и неправильная):

Правильная усечённая пирамида:

Круговой цилиндр (прямой и наклонный):

Круглый цилиндр:

Круговой конус (круглый и наклонный):

Круглый конус:

Усечённый круговой конус (круглый и наклонный):

Усечённый круглый конус:

Шар:

Полушарие:

Шаровой сегмент:

Шаровой слой:

Шаровой сектор:

_

здесь h – высота сегмента, содержащегося в секторе.

Полый шар:

здесь R ₁, R ₂, D ₁, D ₂ – радиусы и диаметры внешней и внутренней сферических поверхностей.