Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида

Многогранники. Выпуклый многогранник. Призма.

Прямая, наклонная и правильная призма. Параллелепипед.

Прямой и прямоугольный параллелепипед, куб. Пирамида.

Тетраэдр. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

Многогранник – это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, их вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник – выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Призма – это многогранник (рис.79), две грани которой ABCDE и abcde (основания призмы) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани (A ab B, B bc C и т.д.) - параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой (A a, или B b, илиC c и т.д.). Параллелограммы A ab B, B bc C и т.д. называются боковыми гранями; рёбра A a, B b, C c и т.д. называются боковыми рёбрами. Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. На рис.79 показана наклонная призма.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда

четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в нейпополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d ²= a ² + b ² + c ².Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) – это произвольный многоугольник (ABCDE, рис.80), а остальные грани (боковые грани) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на еёоснование, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Треугольная пирамида является тетраэдром (четырёхгранником), четырёхугольная – пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани (SF) называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение abcde, параллельное основанию ABCDE (рис.81) пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные граниABCDE и abcde называются основаниями; расстояние O o между ними – высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота F f боковой грани (рис.81) называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Цилиндр

Цилиндрическая поверхность. Направляющая и образующие.

Цилиндр: прямой, наклонный, круговой, круглый.

Цилиндрические сечения: круг, параллельные прямые, эллипс.

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой (AB, рис.82), сохраняющей своё направление и пересекающейся с заданной линией (кривой) MN. Линия MN называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении (A’B’, A”B” и т.д., рис.82), называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, называется цилиндром (рис.83). Части этих плоскостей (ABCDEFG и abcdefg) называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями (KM, рис.83) – высота цилиндра. Цилиндр – прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр – наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым. Призма является частным случаем цилиндра (почему?).

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра (рис.84). Сечения, параллельные основанию - круги того же радиуса. Сечения, параллельные образующим цилиндра - пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим - эллипсы.

Конус

Коническая поверхность. Направляющая и образующие.

Конус: круговой, круглый. Конические сечения: круг, эллипс,

парабола, гипербола, пара пересекающихся прямых.

Коническая поверхность образуется при движении прямой (AB, рис.85),проходящей всё время через неподвижную точку (S), и пересекающей за данную линию MN, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении (A’B’, A”B” и т.д.),называются образующими конической поверхности; точка S – её вершиной. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом SA, другая – его продолжением SB. Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.

Конус – это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности сзамкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью (ABCDEF, рис.86), не проходящей через вершину S. Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины S на основание, называется высотой конуса. Пирамида является частным случаем конуса (почему?). Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая SO, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.

Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс (рис.87). Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола (рис.88). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей (рис.89). В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса).

Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике (эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.

Шар (сфера)

Сферическая поверхность. Шар (сфера). Сечения шара: круги.

Теорема Архимеда. Части шара:шаровой (сферический) сегмент,

шаровой слой, шаровой пояс, шаровой сектор.

Сферическая поверхность – это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной точки O, которая называется центром сферической поверхности (рис.90). Радиус AO и диаметр AB определяются так же, как и в окружности.

Шар (сфера) - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можнополучить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара – круги (рис.90). Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара (AB, рис.91). Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (A и B, рис.91), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Объём шара в полтора раза меньше объёма описанного вокруг него цилиндра (рис.92), а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра (теорема Архимеда):

Здесь S _шара и V _шара - соответственно поверхность и объём шара;

S _цил и V_цил - полная поверхность и объём описанного цилиндра.

Части шара. Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью (ABC, рис.93), называется шаровым (сферическим) сегментом. Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостямиABC и DEF, пересекающими сферическую поверхность (рис.93),называется шаровым слоем;кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной).КругиABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота. Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB, рис.93) и конической поверхностью OABC, основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O, называется шаровым сектором.