Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Математическая индукция
Пусть требуется доказать некоторое свойство (это может быть формула,тождество, неравенство, утверждение и т.д.), зависящее от натурального числа n. Если:
1) это свойство имеет место для некоторого натурального числа n 0, 2) из условия справедливости этого свойства при n = k следует его справедливость при n = k + 1 для любого k n 0,
то тогда это свойство имеет место для любого натурального n n 0.
П р и м е р 1. Доказать, что 1 + 3 + 5 +... + (2 n – 1) = n 2.
Для доказательства применим метод математическойиндукции. Очевидно, что при n = 1 данное равенство справедливо.Предположим, что оно справедливо при некотором k, т.е. имеет место
1 + 3 + 5 +... + (2 k – 1) = k 2.
Докажем, что тогда оно имеет место и при k + 1. Рассмотрим соответствующую сумму при n = k + 1:
1 + 3 + 5 +... + (2 k – 1) + (2 k + 1) = k 2 + (2 k + 1) = (k + 1) 2.
Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при k вытекает, что оно справедливо и при k + 1, значит оно справедливо при любом натуральном n,что и требовалось доказать.
П р и м е р 2. См. решение задачи 5.047. П р и м е р 3. См. решение задачи 5.048.
Неравенства: общие сведения
Неравенство. Тождественное неравенство. Строгие и нестрогие неравенства. Решение неравенств и систем неравенств. Основные свойства неравенств. Некоторые важные неравенства.
Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным. Например, тождественны следующие неравенства: 3 · 7 – 20 > 2 · 4 – 10, a 2 ≥ 0, | – 5 | > 3. (Почему?) Основные свойства неравенств.
|