Мнимые и комплексные числа

Мнимые числа. Мнимая единица. Действительные

или вещественные числа. Комплексные числа.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:

x ² = a,

где а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:

Здесь возможны три случая:

1).	Если a = 0, то x = 0.
2).	Если а – положительное число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное, другое отрицательное; например, уравнение x 2 = 25 имеет два корня: 5 и – 5. Это часто записывается как корень с двойным знаком:
3).	Если а – отрицательное число, то это уравнение не имеет решений среди известных нам положительных и отрицательных чисел, потому что вторая степень любого числа есть число неотрицательное (продумайте это!). Но если мы хотим получить решения уравнения x 2 = a также и для отрицательных значений а, мы вынуждены ввести числа нового типа – мнимые числа. Таким образом, мнимымназывается число, вторая степень которого является числом отрицательным. Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу:

Тогда для уравнения x ² = – 25 мы получаем два мнимых корня:

Подставляя оба эти корня в наше уравнение, получаем тождество. (Проверьте!). В отличие от мнимых чисел все остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные) называются действительными или вещественными числами. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается:

a + b i,

где a, b – действительные числа, i – мнимая единица.

Более подробно о комплексных числах см. раздел «Комплексные числа».

П р и м е р ы комплексных чисел: 3 + 4 i, 7 – 13.6 i, 0 + 25 i = 25 i, 2 + i.