Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 ·3 ·5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² ·5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4.

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведениюкорней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степеньподкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа сотрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Теперь формула a ^m: a ⁿ = a ^{m - n} может быть использована не только при m, большем, чем n, но и при m, меньшем, чем n.

П р и м е р. a ⁴: a ⁷ = a ^{4 - 7} = a ^-3.

Если мы хотим, чтобы формула a ^m: a ⁿ = a ^{m - n} была справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 ⁰ = 1, (– 5) ⁰ = 1, (– 3 / 5) ⁰ = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n, нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

где a ≠ 0, не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

- любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x. Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Случай 3.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

0 ⁰ - любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0, ответом является x > 0;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.