Промежутки выпуклости и вогнутости

Функция у = f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на промежутке, если она определена во всех точках промежутка и для любых двух точек х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку, таких, что х₁ < х₂, график функции на интервале (х₁; х₂) располагается выше (ниже) хорды, проходящей через точки (х₁; f(x₁)) и (х₂; f(x₂)).
Если функция дифференцируема во всех точках промежутка, то она выпукла вверх, если ее график располагается ниже касательных, проведенных в любой точке этого промежутка (за исключением, разумеется, самой точки касания). Дифференцируемая функция выпукла вниз, если ее график располагается выше касательных, проведенных в любой точке этого промежутка.
Теорема (достаточное условие направлений выпуклости). Пусть функция у = f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и дважды дифференцируема на интервале (а, b). Если при этом f′"(x) > 0, то функция выпукла вниз на отрезке, если же f′'′(x) < 0, то функция выпукла вверх на отрезке.

Утверждение теоремы сохраняется, если вторая производная обращается в ноль или не существует в конечном числе точек, в которых, однако, сама функция определена.
Точка (x₀; f(x₀)), в которой происходит смена направления выпуклости, называется точкой перегиба графика функции.
Теорема (необходимые условия точки перегиба). Если х₀ - точка перегиба графика функции у = f(x), то либо вторая производная в этой точке не существует, либо f"′(x₀) = 0.
Теорема (достаточные условия точки перегиба). Пусть функция у = f(x) непрерывна в некоторой двусторонней окрестности точки х₀, включая и саму эту точку, и дважды дифференцируема во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки х₀. Если при переходе через точку х₀ вторая производная меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба графика функции.

ПРИМЕР 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

а) ; б)

Решение: а) ; область определения данной функции является вся числовая ось: Находим первую и вторую производную

Вторая производная всюду существует и обращается в нуль в точке х=0. Область определения разбивается этой точкой на интервалы (-∞; 0] и [0; +∞). В каждом из которых вторая производная сохраняет свой знак: f′′(x)<0 на интервале (-∞; 0] и функция выпукла вверх; f′′(x)>0 на интервале [0; +∞) и функция выпукла вниз. Точка х=0 – точка перегиба функции.

б) ;

область определения данной функции все числа, кроме нуля: (-∞; 0) и (0; +∞). Находим первую и вторую производную

Вторая производная всюду существует, кроме точки х=0. Область определения разбивается этой точкой на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞). В каждом из которых вторая производная сохраняет свой знак: f′′(x)<0 на интервале (-∞; 0) и функция выпукла вверх, f′′(x)>0 на интервале (0; +∞) и функция выпукла вниз. Точка х=0 не является точкой перегиба функции, так как производная в этой точке не существует.

Вариант № 1

1. Найти матрицу С, если С=(2А-В)(В-Е)

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера б) методом Гаусса

3. Даны вершины треугольника А(-3;-2) В(0;10) и С(6;2). Найти: 1) уравнение стороны АВ 2) длину стороны АВ 3) площадь треугольника 4) сделать чертеж.

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

а) б) . Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функций: а)

б) в) г) e)

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) б)

8. Проведите исследование функции и постройте график.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на [0;4]

Вариант № 2

1. Найти матрицу, обратную С, если С=(А+В)

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера б) методом Гаусса

3. Даны вершины треугольника А(1;1) В(4;13) и С(10;5). Найти: 1) уравнение стороны АВ 2)длину стороны 3) площадь треугольника 4) внутренний угол АВС 5) сделать чертеж

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

а) б) . Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функций:а) б) в) , б) , e) +1

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) , б)

8. Проведите исследование функции и постройте график.

9. Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой х=-1

Вариант № 3

1. Вычислить определитель матрицы А, если А=(В+2С)(В-2Е)

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера,б) методом Гаусса

3. Даны вершины треугольника А(0;3), В(3;15) и С(9;7). Найти: 1)Уравнение стороны АВ 2)длину стороны АВ 3)площадь треугольника 4)внутренний угол АВС 5)сделать чертеж

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

а) б)

Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функций: а) ,б) ,

в) г) , e) .

7. Вычислите производные функции до четвертого порядка включительно: а) б) .

8. Проведите исследование функции и постройте график.

9. Составьте уравнение касательной к параболе с абсциссой =-1. Постройте график.

Вариант № 4

1. Найти матрицу, обратную матрице В, если В= А-2С

2. Решить систему линейных уравнений а)методом Крамера, б)методом Гаусса

3. Даны вершины треугольника А(-2;0) В(1;12) и С(7;4). Найти:

1)Уравнение стороны АВ 2)длину стороны АВ 3)площадь треугольника 4)внутренний угол АВС 5)сделать чертеж

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

а) б)

Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функции: а) б) , в) , г) , е) .

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) , б)

8. Проведите исследование функции и постройте график.

9. Составьте уравнение касательных к графику функции у= в точках ее пересечения с осью абсцисс. Постройте график.

Вариант № 5

1. Вычислить определитель матрицы В, если В=А²-С

2. Решить систему линейных уравнений а)методом Крамера б)методом Гаусса

3. Даны вершины треугольника А(2;-1) В(5;11) и С(11;3). Найти: 1)Уравнение стороны АВ 2)длину стороны АВ 3)площадь треугольника 4)внутренний угол АВС 5)сделать чертеж

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка а) б) . Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функций: а) у=

б) у= в) у= г) у= е) у=

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно:

а) у= б) у=

8. Проведите исследование функции у= и постройте график.

9. В какой точке кривой у= касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45⁰?

Вариант № 6

1. Вычислить определитель матрицы Д, если Д=(2А-В) (А+2В)

А = В =

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера; б) методом Гаусса;

3. Даны вершины треугольника А(3;-3) В(6;9) С(12;1). Найти: 1) уравнение стороны АВ 2) длину стороны АВ 3)площадь треугольника 4) внутренний угол АВС 5) сделать чертеж.

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка а) x²+2x+2y+1=0; б) –x²+36y²+12x-12y-60=0. Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в) .

6. Найти производные функций: а) y = (3x⁴+2)⁴;б)y= arccos2x;

в) y=xsin2x; г) y= ; е) y= ;

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) y=x⁸-5x⁶ , б) y=

8. Проведите исследование функций y= и постройте график.

9. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=0,5t⁴-5t³+12t-1 (S- в метрах, t- в секундах). В какие моменты ускорение равно нулю?

Вариант № 7

1. Найти матрицу, обратную матрице С, если С=(А-2В)В

А = В =

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера; б) методом Гаусса;

3. Даны вершины треугольника А(-1;2) В(2;14) С(8;6). Найти: 1) уравнение стороны АВ 2) длину стороны АВ 3)площадь треугольника 4) внутренний угол АВС 5) сделать чертеж.

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка а) x²+y²+10y+16=0; б) 49x²-4y²-84х-12y+11=0. Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)
б) , в) .

6. Найти производные функций: а) y = (5x⁵+2x⁴)⁷;

б)y=ctg ; в) y= ; г) y= е) y=2 ;

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) y=8x²-xб) y=

8. Проведите исследование функций y= и постройте график.

9. Точка движется прямолинейно по закону S=-2t²+8t+7 до тех пор, пока ее скорость не обратиться в нуль. Определите пройденный при этом путь?

Вариант № 8

1. Вычислить определитель матрицы А, если А=(В-2С) (Е+С)

В = С =

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера; б) методом Гаусса;

3. Даны вершины треугольника А(5;-4) В(8;8) С(14;0). Найти: 1) уравнение стороны АВ 2) длину стороны АВ 3)площадь треугольника 4) внутренний угол АВС 5) сделать чертеж.

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка а) 9x²-16y²+90x+32y+97=0; б) 4x²+y²-4x+8y-64=0. Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функций: а) y = (2x³-3x)⁴;б)y= arctg ; в) y=(x³+7x²)e^x; г) y= ; е) y= 11¹¹ ;

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) y=x⁷-2xб) y=

8. Проведите исследование функций y= и постройте график.

9. Найти наибольшее и наименьшее значение функций
ƒ(x)=x⁵-5x⁴+5x³+1 на отрезке [-2;2].

Вариант № 9

1. Найти матрицу, обратную матрице С, если С=(А-2В)А

А = В =

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера; б) методом Гаусса;

3. Даны вершины треугольника А(-4;5) В(-1;17) С(5;9). Найти: 1) уравнение стороны АВ 2) длину стороны АВ 3)площадь треугольника 4) внутренний угол АВС 5) сделать чертеж.

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка а) x=2y²-12y+14; б) 9x²+4y²-12x-12y+4=0. Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функций: а) y = (7x²+4x³)⁶;

б)y= ; в) y= (x²+2)lnx; г) y= е) y= ;

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) y=x³-6б) y=

8. Проведите исследование функций y= и постройте график.

9. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= . Найти максимальную скорость движения (t- в секунду).

Вариант № 10

1. Найти матрицу, обратную матрице С, если С=(2А-В) (В+А)

А = В =

2. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера; б) методом Гаусса;

3. Даны вершины треугольника А(4;4) В(7;16) С(13;8). Найти: 1) уравнение стороны АВ, 2) длину стороны АВ, 3)площадь треугольника, 4) внутренний угол АВС, 5) сделать чертеж.

4. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка а) x²+4y²+4x-8y-8=0; б) 36x²+9y²-60x+24y+16=0. Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, написать уравнение асимптот, директрис (если есть). Построить линию.

5. Найти пределы функции: а)

б) в)

6. Найти производные функций: а) y = (2x+3x²)⁵; б) y= arcsin ;

в) y=x⁵lnx; г) y= ; е) y=5⁵ ;

7. Найдите производные функции до четвертого порядка включительно: а) y=x³+18xб) y=

8. Проведите исследование функций y= и постройте график.

9. Найти скорость и ускорение движения точки в конце третьей секунды, если известно, что она движется по закону S(t)= , где S- в метрах, t- в секундах.

Список литературы:

Основные источники:

1. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: учебник для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2009. – 395 с.

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2009. – 204 с.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2009. – 204 с.

4.Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. –320 с.

5. Дадаян А.А. Математика: Учебник.–М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2004.– 552 с.

6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник.– М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.– 240с.

Дополнительные источники:

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Росткнига, 2001.

2. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2001.

Интернет – ресурсы:

1. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://window.edu.ru/window, свободный. — Загл. с экрана.

2. Российская национальная библиотека [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http:// nlr.ru/lawcenter, свободный. — Загл. с экрана.

3. Электронные библиотеки России /pdf учебники студентам [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.gaudeamus.omskcity.com/my_PDF_library.html, свободный. — Загл. с экрана.