Структура решения уравнений переменных состояния

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами [14]

. (10.8)

Решение ее X(t) характеризует свободное поведение системы. Пусть вектор начальных условий имеет вид

. (10.9)

Разложим искомый вектор X(t) в степенной ряд по t:

. (10.10)

Дифференцируя (10.8), найдем

; и т.д. (10.11)

Тогда при t=0 получим

; ; и т.д. (10.12)

В итоге ряд (10.10) можно переписать в виде

(10.13)

Подставляя е^АtX₀ в исходное уравнение (10.8), легко убедиться, что (10.13) представляет собой решение. Полагая в (10.13) t=0, получим X₀.

Таким образом, интегрирование однородной системы (10.8) сводится к вычислению матрицы е^Аt и умножению ее на вектор начальных условий X₀. Матрица е^Аt называется матричным экспоненциалом или матричной экспонентой. В теории управления она часто называется переходной матрицей состояния.

Решение однородного уравнения (10.8) имеет вид

. (10.14)

Если движение начинается в момент времени t=t₀, то решение принимает форму

. (10.15)

Матрица может быть представлена в виде разложения в матричный степенной ряд

, 10.16)

который сходится абсолютно и равномерно при любом значении t.

Основные свойства матрицы е^Аt :

1. Матрицы и коммутируют, то есть

. (10.17)

2. Матрица е^Аt - всегда неособенная, ее обратная матрица

(е^Аt )^-1= е^-At . (10.18)

3. Если АВ=ВА, то

е^(A+B)= е^А е^В= е^В е^А . (10.19)

4. Производная е^Аt

. (10.20)

Это означает, что матрица е^Аt коммутирует с A.

5. Интеграл е^Аt

, (10.21)

откуда .

Если матрица А - неособенная, получим

. (10.22)

Для решения неоднородного уравнения преобразуем его к виду

и умножим слева на е^-At

.

Левая часть уравнения

поскольку

Тогда

.

Интегрирование последнего выражения дает

.

Умножая полученное уравнение слева на е^Аt и учитывая свойство (10.18), получим окончательно

. (10.23)

Первое слагаемое в (10.23) представляет собой решение однородного дифференциального матричного уравнения и описывает свободное движение системы, вызванное начальными условиями, второе слагаемое - вынужденное движение под влиянием внешнего воздействия U(t).

Тогда полное решение системы (10.1) имеет вид

. (10.24)