Интегральные оценки качества

Интегральные критерии качества дают общую оценку времени регулирования и степени отклонения управляемой величины от установившегося значения в переходном процессе в совокупности, без нахождения того и другого в отдельности.

Простейшей интегральной оценкой может служить величина

, (6.27)

где x(t) - отклонение управляемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после завершения переходного процесса.

В устойчивой системе x®0 при t®¥ и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рис.6.7).

Рис. 6.7. Переходный процесс для отклонения

Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиться минимума этой интегральной оценки.

Неудобством интегральной оценки (6.27) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения x. Так как форма переходного процесса при расчете системы управления неизвестна, то применять эту оценку практически нецелесообразно. Поэтому предлагается другая интегральная оценка:

, (6.28)

т.е. сумма абсолютных величин всех площадей под кривой переходного процесса. Но вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительно.

В связи с этим в общем случае применяют квадратичную интегральную оценку качества:

. (6.29)

В литературе [1] имеются формулы, выражающие величину J₃ непосредственно через коэффициенты дифференциального уравнения замкнутой системы.

Стремление оценки J₃ к нулю приближает кривую процесса к 1(t), что, в свою очередь, вызывает значительное увеличение скорости в начальный момент времени. Чтобы получить быстро затухающий и достаточно плавный процесс, вводят улучшенную квадратичную интегральную оценку качества

, (6.30)

где T назначается в соответствии с заданием желаемых свойств переходного процесса.

Наименьшее возможное значение J₄ будет при x +T = 0. Решение этого дифференциального уравнения x=x₀e^-t/T и будет той экспонентой, к которой приближается переходный процесс при стремлении уменьшить значение интегральной оценки J₄.

В качестве интегральных критериев используются и функционалы более общего вида. Иногда в выражение интегральной оценки вводится время в явном виде.

Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи.

Интегральные критерии применяются в теории оптимальных систем управления.