Теорема Остроградского-Гаусса

Число силовых линий, пронизывающих некоторую поверхность (реальную или воображаемую), расположенную в электрическом поле, называется потоком напряженности электрического поля N через эту поверхность.

Определим поток напряженности поля электрических зарядов q₁, q₂, q₃,…, q_n через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Причем будем считать поток отрицательным, если он направлен внутрь поверхности; в противном случае будем считать его положительным.

Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом R, окружающей один заряд q, находящийся в ее центре (рис. 37).

Мы знаем, что напряженность поля в каждой точке сферы одинакова и равна

.

Силовые линии направлены по радиусам, т.е. перпендикулярно поверхности сферы. Это дает возможность применить для расчета потока напряженности формулу:

,

где – площадь сферической поверхности.

Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью. Как видно из рисунка 37, каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно, для любой замкнутой поверхности справедлива формула

.

Теперь вернемся к общему случаю произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов:

.

Таким образом, поток напряженности, пронизывающий любую замкнутую поверхность, окружающую электрические заряды, пропорционален алгебраической сумме окруженных зарядов. Это положение называется теоремой Остроградского-Гаусса.

Теорема Остроградского-Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно очень просто определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы. В качестве примера определим напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. Силовые линии поля в этом случае перпендикулярны плоскости.

Определим величину напряженности поля плоскости в некоторой точке А (рис. 38). Пусть поверхностная плотность заряда плоскости (т.е. заряд, приходящийся на единицу площади) равна σ (Кл/м²). Построим воображаемый цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а левое основание содержит точку А. Плоскость делит цилиндр пополам.

Согласно теореме Остроградского-Гаусса, поток напряженности через поверхность этого цилиндра

,

где – заряд части плоскости, окруженный цилиндром, S – площадь основания цилиндра. Весь поток проходит только через основания цилиндра, так как силовые линии параллельны боковой поверхности цилиндра. На обоих основаниях напряженность поля одинакова, так как они симметричны относительно плоскости. Тогда

,

где 2S – площадь оснований цилиндра. Приравнивая друг к другу правые части двух последних формул, получим

.

Таким образом, напряженность поля бесконечной заряженной плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.