Краткие теоретические сведения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомуюфункцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные (или дифференциалы) различных порядков этой функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Общим решением обыкновенногодифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение y = f (x, c , c , …,c ), которое является функцией переменной x и n произвольных независимых постоянных c , c , …, c .

Частным решением обыкновенного дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего решения при некоторых конкретных значениях постоянных c , c , …,c .

Задачей Коши называется нахождение частного решения дифференциаль-ного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида .

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно преобразовать к виду , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется однородным уравне-нием первого порядка, если функцию можно представить как функцию отношения своих аргументов, то есть .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно преобразовать к виду: .

Дифференциальное уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Здесь p, q R, f (x) – функция.

Если f (x) = 0, то уравнение называется однородным, если , то уравнение называется неоднород-ным.

Уравнение называется характеристическим уравнением уравнения .

Теорема 1. 1. Если характеристическое уравнение уравнения имеет два действительных различных корня и , то общее решение уравнения имеет вид , где и – некоторые числа.

2. Если характеристическое уравнение уравнения имеет один корень k (кратности 2), то общее решение уравнения имеет вид где и – некоторые числа.

3. Если характеристическое уравнение уравнения имеет комплексные корни , где и - действительные числа, то общее решение уравнения имеет вид , где и – некоторые числа.

Теорема 2. Общим решением уравнения является сумма общего решения уравнения и частного решения уравнения :

При этом, если то частное решение находится по формуле , где - многочлены степени n и m соответственно; и - действительные числа, - многочлены степени l, при этом l – максимальное из чисел m и n; t определяется в зависимости от того, является ли корнем уравнения и какого порядка:

t = 0, если – не корень уравнения ,

t = 1, если – корень уравнения кратности 1,

t = 2, если – корень уравнения кратности 2.