Краткие теоретические сведения

Функция F (x) называется первообразной функцией функции f (x) на промежутке X, если для любого x из данного промежутка X верно равенство: F ¢(x) = f (x).

Неопределенным интегралом отфункции f(x) называется множество всех первообразных функций F (x) + C для функции f(x).

Записывают: .

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4. ;

5. , где k R, k 0.

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной): .

Метод интегрирования по частям: ;

Если существует конечный предел суммы при , не зависящей ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [ a, b ].

Обозначается: = , а – нижний предел, b – верхний предел интегрирования, х – переменная интегрирования, [ a, b ] – отрезок интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла:

1) Для любых a, b, c верно ;

2)

3)

4) Если f (x) £ j (x) на отрезке [ a, b ] то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [ a, b ], то: ;

6) Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то на

этом отрезке существует точка c такая, что .

Формула Ньютона – Лейбница: Если функция F (x) – какая - либо перво-образная от непрерывной функции f (x), то .

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной):

, здесь j (a) = а, j (b) = b.

Метод интегрирования по частям:

Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.