Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример выполнения заданий по теме 1Задание 1.1. Выполнить действия над матрицами: B· (A + 3 B) – A· (A – B), где А = ; B = . Решение. 1). 3 B = 3 · = = . 2). A + 3 B = + = = . 3). B· (A + 3 B) = · = = = = = . 4). A – B = – = = . 5). A· (A – B) = · = = = = = . 6). B· (A + 3 B) – A· (A – B) = – = = = . Ответ: B· (A + 3 B) – A· (A – B) = Задание 1.2. Дана система линейных уравнений: 1. Решить систему по формулам Крамера; 2. Решить систему с помощью обратной матрицы. Решение. 1. Воспользуемся формулами Крамера: x = , где j = 1; 2; 3. D = det A, а D j – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца j столбцом свободных членов. Тогда D = = (5·2·2 + 1·3· (– 1) + (– 1) ·3·4) – (4·2·(–1) + 3·3·5 + 1· (–1) ·2) = = (20 – 3 – 12) – (–8 + 45 – 2) = 5 – 35 = – 30; D1 = = (0·2·2 + 14·3·(– 1) + (–1)·3·16) – (16·2·(–1) + 0·3·3 + 14 × × (–1) ·2) = (0 – 42 – 48) – (–32 + 0 – 28) = –90 – (– 60) = – 30; D2 = = (5·14·2 + 1·16·(– 1) + 0·3·4) – (4·14·(–1) + 5·16·3 + 1·0·2) = = (140 – 16 + 0) – (– 56 + 240 + 0) = 124 – 184 = – 60;
D3 = = (5·2·16 + 1·3·0 + (–1) ·14·4) – (0· 2·4 + 5·3·14 + 1· (– 1) ·16) = = (160 + 0 – 56) – (0 + 210 – 16) = 104 – 194 = –90. Тогда x = 1, x = 2, x = 3. Ответ: x = 1; x = 2; x = 3. 2. Запишем матрицу системы A = , столбец неизвестных X = , столбец свободных членов B = . Определитель матрицы A равен = – 30 0. Тогда решение системы линейных уравнений определяется по формуле X = A ·B. Для нахождения A воспользуемся формулой: A = . Для нахождения A cоставим для матрицы A транспонированную матрицу A = и найдем элементы союзной матрицы A , как алгебраические дополнения элементов матрицы A . A = (–1) . Тогда: A = (–1) M = = 2·2 – 3·3 = – 5, A = (–1) M = – = –(–1·2 – (–1)·3) = – (– 2 + 3) = – 1, A = (–1) M = = (–1)·3 – (–1)·2 = – 3 + 2 = – 1, A = – = –(1·2 – 3·4) = – (2 – 12) = – (–10) = 10, A = = 5·2 – 4·(–1) = 10 + 4 = 14, A = – = –(5·3 – 1·(–1)) = – (15 + 1) = – 16,
A = = 1·3 – 2·4 = 3 – 8 = –5, A = – = – (5·3 – 4·(–1)) = – (15 + 4) = –19, A = = 5·2 – 1·(–1) = 10 + 1 = 11. Тогда A -1 = = = ;
Cделаем проверку: A×A -1 = = = = E.
Найдем матрицу Х. Х = = А-1В = × = .
Итак, решением системы будет x = 1; x = 2; x = 3. Ответ: x = 1; x = 2; x = 3.
Задание 1.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: x + 2 x - 3 x + x = - 4, 2 x + x - x - x = 1, x - x + 2 x + 3 x = 5, 5 x + 2 x - 4 x + 2 x = - 3. Решение. I. Составим расширенную матрицу системы линейных уравнений: Первую строку матрицы умножим на -2 и прибавим ко второй строке матрицы, также первую строку умножим на -1 и прибавим к третьей строке и умножив первую строку на -5 прибавим ее к четвертой строке. После этого все элементы первого столбца, кроме первого, окажутся равными нулю. . Четвертую строку умножим на -2 и сложим со второй строкой, умноженной на 5 (таким образом, мы получим на месте элемента a единицу). . Теперь умножим вторую строку сначала на 3 и сложим с третьей, а затем на 8 и сложим с четвертой. . Разделим все элементы четвертой строки на 5. . Переставим четвертую и третью строки местами. Умножим третью строку на -2 и сложим с четвертой. В результате мы получили треугольную основную матрицу системы линейных уравнений. Запишем соответствующую данной расширенной матрице систему линейных уравнений и решим ее. II. x + 2 x - 3 x + x = - 4 , x + 3 x - 9 x = 11, 7 x - 15 x = 21, 5 x = 0. Из последнего уравнения системы находим x = 0. Подставим x = 0 в третье уравнение и найдем x = 3. Подставим x = 0 и x = 3 во второе уравнение системы, получим: x + 3·3 - 9·0 = 11, из которого находим x = 2. Подставим x = 0, x = 3, x = 2 в первое уравнение системы, получим: x + 2·2 - 3·3 + 0 = - 4, из которого получаем: x = 1. Проверка. Подставим найденные значения x , x , x , x в исходную систему линейных уравнений: 1 + 2·2 – 3·3+ 0 = – 4, – 4 = – 4 – верно, 2·1 + 2 – 3 – 0 = 1, 1 = 1 – верно, 1 – 2 + 2·3 + 3·0 = 5, 5 = 5 – верно, 5·1 + 2·2 – 4·3 + 2·0 = – 3. – 3 = – 3 – верно.
Ответ: x = 1; x = 2; x = 3, x = 0.
|